Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
х(7)= Iim T1ZO(TfCv)It//. (4.1)
Г -» °° О
где функция (?(*•) определена в фазовом пространстве, и зависит ли этот предел от начальных условий?
Центральным понятием классической эргодической теории является понятие эргодичности движения. Если фазовая траектория всюду плотно заполняет некоторый доступный фазовый объем G в фазовом пространстве, движение называют зріодическим. При этом в пределе t -»"»относительное время пребывания траектории в любом конечном элементе объема ДG пропорционально относительному объему этого элемента [6, 15. 32. 54. 55]:
І'ла=^ Iim (гдс/0~Л<7/0\ (4.2)
f — OO
Здесь - время пребывания траектории в элементе объема AG. P^g ~ вероятность попадания траектории в элемент объема AG.
Существование предела (4.2) является важнейшей теоремой эргодической теории и позволяет ввести понятие инвариантной (т.е. не зависящей от времени и начальных данных) вероятностной меры по данным наблюдения конкретной траектории динамической системы. Введение инвариантной верояїностной меры для эргодического движения и послужило основой эргодической теории, изучающей преобразования Т,(х). которые сохраняют меру.
Простым наглядным примером эргодического движения служит движение на двумерном торе при иррациональном соотношении базовых частот. Досіупньїй фазовый объем G в этом случае есть просто двумерная поверхность тора, ивлиющаяся аттрактором системы. Все предельные траектории лежат на этой поверхности. Эргодичность движения означает равномерное и плотное покрытие этой поверхности фазовой траекторией.
56 Іісли определено понятие вероятности (4.2). го для эргодическою движения сисіемьі справедливо соотношение
Iim Г1 fO[x(t)]Jt = /O(X)JP(x), (4.3)
t — °° О G
что означает с вероятностью единица равенство усреднения по времени вдоль конкретной траектории x(t) и усреднения но вероятностной мере, определенной в фазовом пространстве с помощью теоремы (4.2). Условие (4.3), по сути дела, является определением эргодичности динамической системы.
Однако, как обсуждалось выше, квазипериодический аттрактор, пред-Ciявляющий собой в общем случае р-мерный тор. не является странным. Спектр ЛХП любой траектории на эргодическом торе содержит в качестве старших р нулевых показателей и отвечает устойчивому движению. Значит. эргодичность слишком слабое свойство динамических систем, чтобы использовать его как критерий стохастичности.
Здесь уместно обсудить спектральные характеристики режимов колебаний. отвечающих различным типам аттракторов динамических систем. Любое периодическое ограниченное решение системы можно представить в виде ряда Фурье
OO
x(f)= 2 С„ехр(/ясо0г). CJ0 = IitfT. (4.4)
Л = -оо
Спектр периодических автоколебаний представляется в виде суперпозиции определенным образом сфазированных гармонических составляющих с кратными частотами (гармониками исо0). Определим автокорреляционную функцию процесса x(t):
*х(т) = Iim Г1 f X(S)Xd-+т)Л-; (4.5)
t -* ~ о
с учетом (4.4) получаем
OO
^jc (т) = 2 I Cn 12 exp (/я W0T). (4.6)
л = —00
Автокорреляционная функция периодического процесса является периодической с тем же периодом. Спектральная плотность мощности периодических автоколебаний есть фурье-преобразование от yIfjc(T):
OO OO
Sx(CJ)=W1 / **(T)exp(-/wT)cfr» 2 |С„ |2б(со-ясо0) (4.7)
— оо л - -OO
и содержит только дискретные составляющие на гармониках основной частоты HCO0.
Если аттрактор системы - квазипериодический, то решение дс(/) представимо в виде (2.28). Разложим квазипериодическое решение в многократный ряд Фурье
*(')- 2 Cn......„ ехрІ/Чя.со,+.. . + я,со,)г]. (4.8)
»,....."і
57 JJinH автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса получим соответственно
S |СЯі ...„, |Jexp[/(w,w, + ... + м,ы,)г].
".....(4.9)
Sx(u)= 1 |СИі ... „,|J5(w- и, w, -... -п,ш,).
"......"і
Автокорреляционная функция процесса х(г) является квазипериоди-ческой функішей времени г. Спектральная плотность мощности квазипериодического процесса вклю'іает совокупность дискретных линий с частотами, представляющими всевозможные линейные комбинации на основе базовых частот
W,,,.....IilsNlW1 +W1Wj +... + W1W1, (4.10)
которые назовем комбинационными частотами квазипериодического аттрактора.
В случае если решение динамической системы характеризует движение на странном аттракторе и, следовательно, не является периодическим или квазипериодическим, оно представимо в виде интеграла Фурье
во
_х(0 = (27г)"' / 4>(u)exp(/ut)du,
(4.11)
<l>(w)= f x(t) схр(—jut) dt,
__ во
где 4>(w) - спектральная амплитуда процесса. В предположении стационарности и эргодичности движения на странном аттракторе справедливы соотношения Винера - Хинчина [28.29]
во
^vC)= / s.v(uj)exp(/wr)</w.
(4.12)
OO
Sx(u) = (2ir)~' f *x(r)exp(-/uT)d7,
.-во
которые применимы к описанию случайных процессов. Случайные (в классическом смысле) процессы характеризуются затуханием во времени автокорреляционной функции и континуальным характером зависимости спектральной плотности мощности от частоты. Действительно, пусть ^jt(T) = 6(А что соответствует "абсолютно" случайному процессу. Из (4.12) следует, что спектральная плотность мощности такого б-коррелированного процесса постоянна для любых частот, что и характеризует случай "белого" шума.
