Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Для характеристики странных аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рам-64 к ах указанной точности. Для регулярных аттракторов, являющихся многообразиями, размерность -- целое число: неподвижная точка имеет размерность 0. предельный цикл - 1, двумерный тор - 2 и т.д. Ввиду сложности геометрической структуры странные аттракторы не являются многообразиями и имеют дробную размерность.
Размерность - одна из фундаментальных характеристик аттрактора, наряду с метрической энтропией Колмогорова. Обсуждаемые в литературе определения размерности в общем разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято называть фрактальной размерностью аттрактора Df. Размерность, определяемую с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют информационной или размерностью натуральной меры. Последняя. что важно для приложений, может быть оценена по спектру ЛХП аттрактора. Для типичных аттракторов информационная и ляпуновская (оцениваемая по спектру ЛХП) размерности обычно совпадают количественно, но могут отличаться от значений фрактальной размерности. Ilc проблеме размерности заинтересованному читателю можно порекомендовать специальные работы [64-73].
Введем определение фрактальной размерности Df произвольного предельного множества G в /V-мерном фазовом пространстве по Колмого-рову-Хаусдорфу:
где M(є) - минимальное число /V-мерных кубиков со стороной е, необходимых для покрытия всех элементов множества G. Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0,1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств G размерность Df может оказаться дробной.
В качестве простого наглядного примера множества дробной хаусдор-фовой размерности приведем канторово множество. Это множество строится последовательным исключением открытых интервалов длиной 1/3 из середины закрытого (включающего граничные точки) единичного интервала. Выбросив первый раз среднюю треть, оставляем два закрытых интервала длиной в 1/3 каждый. Затем, выбросив средние трети из оставшихся двух отрезков, получим четыре закрытых интервала длиной 1/9 каждый. Канторово множество будет построено, если процесс исключения "ненужных" открытых интервалов продолжить до бесконечности, как схематически изображено на рис. 4.2. На n-м шаге процедуры построения канторова множества останется M- 2" разделенных между собой закрытых интервалов одинаковой длины є = 3"". По определению (4.19) найдем фрактальную размерность канторова множества:
Как видно из рис. 4.2, структура множества Gn+1 на п + 1-м шаге разбиения при рассмотрении се с трехкратным увеличением повторяет структуру
Df = Iim [In Af (е>/ In (1 /с>],
(4.19)
е-» О
Df - In 2/1п 3 * 0,63.
(4.20)
5. B.C. Лнишенко
65 <j„ предыдущего п-го разбиения. В этом и прояшіяется свойство масштабной инвариантности. Универсальность в процессе дробления масштабов здесь задастся самим алгоритмом построения канторова множества. Как впервые наблюдал в численном эксперименте М. Хенон, странные аттракторы имеют структуру типа кэнторовой (74] ¦ Эти множества порождаются нелинейными операторами эволюции, характеризуются более сложными законами подобия и имеют дробную размерность. Неизвестно, всели тины странных
Рис. 4.2. Принцип построении и масштаПная инвариантность канторова множества
аттракторов имеют масштабно инвариантные структуры, однако четко установлено. что их фрактальная размерность в общем случае дробная. Последнее свойство используется как характерный признак "странности" аттрактора.
Информационная размерность D1 определяется следующим образом:
1(e) Ще)
D1= Iim ——-. 1(e) = - 2 Pt\nPt. (4.21)
f о In (1 /є) і = 1
Здесь 1(e) - энтропия Шеннона (количество информации, необходимое для определения состояния системы в пределах точности є), Af (є) - число кубиков со стороной є, покрывающих аттрактор, Pt - вероятность посещения фазовой траекторией /-го кубика. Гак как для малых е /(є ) «= =« ?>fln(l/e), то D1 характеризует скорость возрастания информации с уменьшением е.
Удивительна на первый взгляд, но совершенно естественна при детальном рассмотрении взаимосвязь фрактальной размерности Df хаотического множества с показателями спектра JIXI1. Доказано, что для аттракторов двумерных обратимых отображений с постоянным якобианом преобразования справедливо соотношение [75,76]
Df = 1 + Л,/|Ха I. Х,>Х2, (4.22)
где Xt определены соотношением (2.11). Если двумерное стохастическое множество в секущей Пуанкаре порождается соответствующим потоком, то в силу непрерывности потока (4.22) можно обобщить на случай трехмерных дифференциальных систем с отрицательной дивергенцией, не зависящей от фазовых координат:
