Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
*) !Ьшобные аттракторы возможны в многомерных и распределенных системах, однако они локализуются в трехмерном полпространетве исходного фазового пространств» системы и допускают исчерпывающее описание при трехмерном моделировании.
68 і' и с. 4..*. Геометрия странного аггракгара, возникающего в результате каскада бифуркаций удвоения периода
а O б
!' и с. 4.4. Иллюстрация канторовосги структуры хаотического множества в сечении Пуанкаре
видно растяжение отрезка AB, обусловленное экспоненциальной неустойчивостью (рис. 4.36). Длина отрезка А'В' заметно увеличивается в сравнении с исходной при / = 0. Затем, испытывая существенное растяжение, отрезок складывается вдвое (рис. 4.3в). Поток образует двумерную поверхность со складкой А'СВ'. Геометрия аттрактора формируется путем уплотнения складки (А' -*¦В', оба листа складки как бы спрессовываются) и склеивания точек А' и В' с первоначальной точкой А, а точка С подклеивается к В (рис. 4.3 г, д).
Для обеспечения непрерывности склейки в силу условия непрерывности потока необходимо бесконечное множество подобных поверхностей и соответственно отрезков AB. Как в этом убедиться экспериментально? Введем секущую Пуанкаре, как показано на рис. 4.3д. Сечение Пуанкаре при относительно грубом рассмотрении дает близкую к одномерной кривую типа подковы (рис. 4.4а). Если увеличить разрешающую способность. то проявляются канторовость структуры этой подковы и масштабная инвариантность (рис. AA б, в).
Размерность подобных аттракторов Df = 2 + где d < 1. в силу преимущественного сжатия потока в сравнении с растяжением. Такой аттрактор при грубом рассмотрении представляется почти поверхностью с экспоненциально расходящимися по ней близкими траекториями. Поэтому и размер-
69 ность аттрактора близка к двум. На самом деле таких поверхностей в аттракторе бесконечное множество. Отсюда канторовость структуры в сечении Пуанкаре. Поэтому странные аттракторы не являются многообразиями, а представляют собой прямое произведение многообразия на множество типа канторова.
4.S. Классификация странных аттракторов
Гомоклиническис траектории Пуанкаре всегда имеют место в фазовом пространстве системы со стохастическим поведением. В их существовании кроется причина появления счетного множества седповых периодических движений, континуума устойчивых по Пуассону траекторий, счетного множества грубых гомоклипических траекторий, что и определяет в итоге чрезвычайно сложную картину разбиения фазового пространства на топологически различные типы ее движения. Именно с гомоклиническими эффектами связана возможность рождения динамической стохастичности, т.е. возникновение странного аттрактора. Однако, чтобы в системе реализовались хаотические автоколебания, необходимо обеспечить дополнительное условие: гомоклиническая структура должна быть включена в область аттрактора. Результаты исследований последних лет в области современной теории бифуркаций выявили типичные структуры странных аттракторов, к которым могут быть отнесены известные из теории и экспериментов на ЭВМ режимы хаотических автоколебаний [79]. Странные аттракторы можно разделить на три класса: гиперболические, аттракторы типа Лоренца и квазиаттракторы.
Гиперболические странные аттракторы - это грубые аттракторы, состоящие из множества неустойчивых по Ляпунову траекторий, которые всюду в аттракторе являются седловыми. Не в среднем, а в любой произвольной точке аттрактора траектория седловая! Гиперболические аттракторы не могут включать регулярных, т.е. устойчивых, траекторий любого типа. Примером гиперболических аттракторов служат предельные множества с У-структурой Аносова [80], солсноиды Смейла-Вильямса [81], Плыкина [82] и др. Однако следует отметить, что в конкретных динамических системах гиперболические аттракторы пока не обнаружены.
Аттракторы типа Лоренца представляют собой негрубые предельные множества, в которых всюду плотны седповые периодические движения. Как и в гиперболических аттракторах, в аттракторах типа Лоренца при малых изменениях параметров и правых частей уравнений устойчивые периодические движения не возникают. Аттракторы гина Лоренца форми руются в результате вполне определенного бифуркационного механизма и имеют характерную структуру. Впервые механизм рождения аттрактора в знаменитой модели Лоренца установлен в [83, 84, 53] и сейчас в качестве классического примера рассматривается в целом ряде книг [1-3, 9, 11, 43]. В [79] сформулированы общие математические условия, выполнение которых конкретно выделяет класс странных аттракторов Лоренца. К настоящему времени аттракторы лоренцевского типа обнаруживаются в ряде динамических систем при численном моделировании и с экспериментальной точки зрения являются наиболее близкими но своим свойствам к аттракторам гиперболического типа.
70 Однако наиболее часто встречающиеся в численных и физических экспериментах хаотические аттракторы относятся к третьему классу так называемых квазистохастических или просто квазиаттракторов. Квазиаттрак-торы являются сложными притягивающими предельными множествами, которые наряду с гомоклиническими структурами включают и устойчивые периодические аттракторы. Как правило, области притяжения регулярных аттракторов относительно малы, а характерные временные интервалы (период. квазипериод) достаточно велики. При вариации параметров системы структура квазиаттракторов претерпевает цепочку сложных изменений, обусловленную бифуркациями регулярных и хаотических аттракторов. Причина этих изменений связана с тем, что в квазиаттракторе, наряду с ірубьіми гомоклиническими структурами, появляются и исчезают негру-быс гомоклинические траектории седловых периодических движений.
