Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
При отклонении значения параметра от бифуркационного р* пепія Г0 разрушается. Реализующиеся при этом бифуркации определяются тремя основными случаями.
1- °і(М*) < 0. В этом случае из петли Го рождается единственный устойчивый преданный цикл. Ситуация аналогична рассмотренной ранее для двумерного фазового пространства. В системе жестко возбуждаются устойчивые периодические колебания конечной амплитуды с относительно большим периодом.
2. oi (м*) > 0, при этом собственные значения і,.2 комплексно сопряжены. С разрушением петли в ее окрестности рождается счетное множество седло-•шх периодических движений. Однако они не исчерпывают всего множества возможных траекторий в окрестности разрушившейся петли. Помимо них в зависимости от знака седловой величины о2 реализуется еще одна из двух систем предельных циклов.
Если o2 Ot*) < 0. то вблизи петли Г0 с изменением н в счетном множестве интервалов значении параметра Apt существуют устойчивые периодические движенья. В зависимости от размеров интервалов существования
S3 по параметру и от области притяжения в фазовом пространстве эти циклы могут наблюдаться в экспериментах. Если а2(и*) > О, то также существует счетное множеество интервалов Ajul-, в которых имеют место абсолютно настойчивые периодические режимы (предельные циклы с мультипликаторами вне единичного круга). Естественно, что указанные периодические режимы в реальных системах наблюдать невозможно.
3. o,(ju*) > 0, при этом все собственные значения si - действительные числа. С разрушением петли может родиться единственное периодическое движение, причем только седлового типа.
Итак, из петли сепаратрисы седлового состояния равновесия Г0 при малом отклонении параметра от бифуркационного могут рождаться периодические движения как устойчивые, так и седловые и абсолютно неустойчивые. Случай Oj(ju*) > 0, приводящий к рождению счетного множества сед-ловых периодических движений, представляется особо интересным с точки зрения понимания возможности реализации хаотической динамики. В окрестности петли при этом возникает нетривиальное гиперболическое подмножество траекторий - необходимое условие существования странного аттрактора. ГЛАВА 4
СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
4.1. Эргодичность динамических систем
Чтобы осознать возможность стохастического поведения автоколебательной системы, нужно понять, каким образом в детерминированной системе с небольшим числом степеней свободы в отсутствие флуктуаций может возникать движение, отвечающее сложившимся представлениям о случайном процессе. В общих чертах это можно пояснить, опираясь на іакис понятия, как неустойчивость и автоколебание.
Неустойчивость режима колебаний в смысле Ляпунова есть сзмое существенное обстоятельство, поясняющее возможность хаотического движения в детерминированной системе. В неустойчивом режиме малые возму-.цении нарастают во времени. Если система линейна, то изображающие траектории стремятся к бесконечности. В нелинейных системах нарастание малых возмущений может быть конечным (благодари определенному механизму нелинейного ограничения, всегдз присутствующему в автоколебательных системах) и фазовые траектории из области притяжения стремятся во времени к аттрактору. Локальнзя неустойчивость в области притяжения сменяется устойчивостью движения на аттракторе Примером служит режим мягкого возбуждения автоколебаний в генераторе Ван дер Поли. Но этого может и не произойти. Тогда все траектории в аттракторе будут неустойчивыми по Ляпунову.
Любая возмущенная траектории вблизи неустойчивой локально покидает ее окрестность, экспоненциально удалясь от нее со временем. Наличие аттрактора требует возвращаемости траекторий. Для этого необходим глобальный механизм нелинейного ограничения. На фазовой плоскости эффект возвращаемости в общем случае неизбежно приведет к самопересечению фазовыч траекторий, что исключается в силу теоремы о единственности решения Возвращаемость без самопересечения диктует необходимость выхода траектории с плоскости в пространство, т.е. автоколебательная система со сложным поведением должна быть минимумом трехмерной.
Если траектория принадлежит аттрактору и неустойчива, то, оказавшись спустя некоторое время в окрестности начальной точки, она будет от нее удаляться Это и исключает возможность периодичности процесса. Возни-
55 каст новый тип движения детерминированной системы: предсказуемый, но не периодический. В чем сходство и различие таких движений с истинно случайными? Можно ли описать эти движении, взяв за основу методы статистической теории? Вот принципиальные вопросы, на которые нужно получить ответ.
Проблема взаимосвязи законов статистической механики и динамики детерминированных систем, несмотря на многолетнюю историю, и сейчас представляется одной из интереснейших в современной математической физике. С понятием стохастической изменчивости состоянии так или иначе связывается случай, диктующий необходимость введения количественной характеристики неопределенности состояния в виде вероятностной меры. Хотя состояние системы может изменяться случайным образом, законы, управляющие эмми изменениями, могут не меняться во времени. Ключом к пониманию таких случайных изменений состояния является эргодичес-кая теория. Зарождение ее непосредственно связано с классической механикой. При обосновании последней впервые возник вопрос, можно ли, не решай системы дифференциальных уравнений, описывающей движение множества взаимодействующих частіш, указать свойства статистического характера, появляющиеся в поведении всех или почти всех ее фазовых траекторий при г -* Например, существует ли предел переменного среднею
