Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
H-t-n'1 S Л In A. IA=I, (4.13)
/=| /
где Pj - вероятность /-и последовательности в п символов из алфавита т. Эта неопределенность (и информация) будет нулевой в случае, когда одна нз последовательностей характеризуется единичной вероятностью, а все оставшиеся - нулевой. Неопределенность отлична от нуля только тогда, когда задано любое другое распределение вероятностей, и максимальна при равновероятных исходах событий.
Существенным различием между стохастическим и периодическим движениями системы является то, что хаотическая траектория непрерывно производит энтропию, чего не может быть в случае периодичности. Докажем это простыми рассуждениями. Произведем разбиение фазового пространства G. включающего в себя аттрактор, на m элементарных непересекающихся ячеек AGf (/=1.2.....пі). Проделаем серию измерекій, следя
за траекторией jc(r) и через равные промежутки времени At отмечая п последовательных ячеек AGf, в которой побывала траектория. При каждом независимом испытании получим конкретную л-членную реализацию в виде последовательности Gj(п. At). Предположим, что нам известна нормированная на единицу вероятностная мера P(Gj)Ha множестве возможных последовательностей Gf(п. At). Неопределенность (или энтропия), определяющая среднее количество информации на одну реализацию, в дан-
60 ним эксперименте будет Hn=-Z P(Gi)In P(Gi)
і
(4.14)
Величина Hn зависит от числа элементов п в последовательности, от нн-;ервала времени At регистрации положения точки в фазовом пространстве и от способа разбиения фазового пространства на хіементи AGi. Введем нормированную характеристику - энтропию на один элемент процесса R единицу времеіш - как предел:
Для стационарных эргодических процессов этот предел существует и конечен. Величина Я есть средняя скорость производства энтронии на один элемент процесса. Однако остается зависимость // от способа разбиения фазового пространства на элементы. Выберем такое разбиение, при котором H максимальна, и получим метрическую энтропию динамической системы
Если траектория регулярная, то при измерениях всегда найдется такое п = л0, что для любых измерений последовательность Gj(п0) идентична, т.е. имеет вероятность, равную единице. Метрическая энтропия в таком случае равна нулю. Для стохастической последовательности, когда каждые отдельно взятые отрезки реализаций отличаются друг от друга для любых сколь угодно больших л, энтропия всегда положительна, что служит строгим критерием автостохастичности системы. Положительность энтропии характеризует качественную сторону вопроса, а ее числовое значение является количественной характеристикой степени хаотичности системы. Для истинно случайных процессов энтропия неограниченно велика, для регулярных - Am ¦ 0. Энтропия-системы в режиме странного аттрактора положительна, но имеет конечное значение.
Обратим внимание на типичное для эргодической теории обстоятельство. Наличие инвариантной меры предполагается независимо от начальных условий, что требует исключения из рассмотрения нетипичных начальных условий и соответствующих им траекторий. Предполагается, что такие траектории маловероятны, а точнее - они имеют нулевую вероятность. В динамических системах со стохастическим поведением, в отличие от систем класса Морса - Смейла, могут иметь место бесконечное число различных регулярных и хаотических режимов, реализующихся при задании соответствующих начальных данных. Этим обусловлена возможность существования, вообще говоря, множества различных инвариантных распределений. Поэтому вышеизложенные соображения относятся к типичным для конкретного инвариантного распределения начальным условиям, что необходимо всегда иметь в виду.
Существенным достижением теории динамических систем явилось установление количественной взаимосвязи метрической энтропии со свойствами локальной неустойчивости движения. Доказано, что энтропия положительна в том и только том случае, когда фазовая траектория в среднем экспоненциально неустойчива в аттракторе. Значит, спектр ЛХП такой
H= Hm (HJnAt).
(4.15)
[57.59]: Am = sup Я.
(4.16)
61 траєкторні: обязан содержась в качестве страшеїо положительный ляпу-новский показатель. Явное выражение, связывающее энтропию Колмогорова с положительными показателями спектра ЛХП решения, получено в [60] и в типичных случаях, когда показатели спектра ЛХП не зависят от точки на траектории, выглядит достаточно просто:
fi? - S X1, (4.17)
K1 > и
т.е. энтропия равна сумме положительных показателей спектра ЛХП.
В качестве критерия стохастичности в численных экспериментах в соответствии с (4.17) используется факт положительности стари/его показателя спектра ЛХП решения. Максимальный показатель Ляпунова можно вычислить как предел:
X1= Iim r_lln(|D(r)|/|D(0)|). (4.18)
f -» U
где I D(t) I - текущее расстояние между точками возмущенной и невозмущенной траекторий, ID(O)I - длина вектора малого начального возмущения.
Здесь в&жны два момента. Необходимо учитывать, что ляпуновскне показатели характеризуют линеаризованную систему. Следовательно, процедура вычислений должна обеспечить выполнение условий линейного приближения за счет перенормировки, например, [61]. В противном случае нелинейность системы ограничит величину j D(/)| размерами аттрактора и с ростом времени показатель будет неограниченно стремиться к нулю, что неверно. Далее, нужно правильно выбирать направление вектора первоначального возмущения ?)(0), исключая тем самым возможность влияния "нетипичных" траекторий. В реальных экспериментах типичное направление вектора возмущения D(O) определяется достаточно просто. Нужно добиться постоянства результатов при малых вариациях величины и направления вектора начального возмущения.
