Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Седловая величина их по модулю может быть меньше единицы, что приводит к рождению и последующим каскадам бифуркаций счетного множества устойчивых предельных циклов. В связи с этим возникли и обсуждаются проблемы выявления и описания типичных последовательностей бифуркаций, приводящих к развитию динамического хаоса. Классическими примерами квазиаттракторов служат аттракторы Хенона J 74,3,7], Смейла-Фейгенбаума, тор-аттрактор [13] и др.
4.6. Бифуркации странных аттракторов
Как следует из результатов экспериментов, возникнув благодаря определенному бифуркационному механизму, странный аттрактор с изменением управляющих параметров системы может эволюционировать с сохранением первоначальной топологической структуры, но может демонстрировать и резкие (бифуркационные) ее изменения. Такие переходы в чаосе типичны в основном для квазиаттракторов. Причем квазиаттрактор жжет возникнуть при эволюции, например, аттрактора типа Лоренца с нарушением условий существования последнего. Бифуркационные переходы типа "хаос-хаос1' разнообразны и порой загадочны, однако в значительной мере менее исследованы в сравнении с бифуркациями регулярных режимов.
По аналогии с эволюцией регулярных режимов при вариации параметров явления резкой перестройки геометрической структуры аттрактора при прохождении параметром критической точки, вызванные качественными изменениями характера фазовых траекторий, можно назвать бифуркациями странных аттракторов. Содержательная сторона этого термина скорее качественная, чем количественная. И это вполне понятно, так как даже в отношении квазипериодических аттракторов теории устойчивости и бифуркаций в завершенном виде пока что нет. В качестве подтверждения приведем обоснованное высказывание В. Франческини: "Проблема разработки численных методов изучения устойчивости и бифуркаций торов в строгих теоретических рамках очень важна, но кажется почти неразрешимой" [85] ¦ Опыт численных исследований бифуркаций торов дает все основания разделять эту точку зрения.
Бифуркация странного аттрактора может осуществляться как переход тина "хаос-хаос" или "хаос-порядок". В экспериментах бифуркации
71 странных аттракторов сопровождаются резкой перестройкой их структуры в фазовом пространстве и соответствующих стохастических множеств в сечении Пуанкаре. Если анализируются статистические характеристики динамической стохастичности, то переходы в хаосе приводят к резким изменениям функций распределения, интенсивности колебаний, интегрального спектра мощности и распределения энергии пи частотам, автокорреляции и других моментных функций.
Бифуркация странного аттрактора может быть вызвана сменой "устойчивости" нетривиальных гиперболических подмножеств, которые, будучи непритягиваю щи ми при значениях параметров ниже точек бифуркации, порождают метастабильный хаос. Метастабильная стохастичиость наблюдается конечное время вместе со "стабильным" хаосом исследуемого хаотического режима, а с превышением параметрами бифуркационных значений гиперболическое подмножество в окрестности исходного аттрактора становится притягивающим. Фиксируется бифуркационный переход "хаос-хаос".
Описание бифуркаций стохастических аттракторов на языке качественной теории - весьма актуальная задача, решение которой могло бы пролить свет на закономерности развития турбулентности сплошной среды. К сожалению, математически строгое описание бифуркаций нетривиальных гиперболических множеств - проблема чрезвычайной сложности. Один из способов ее решения может заключаться в соединении качественных методов с методом численного эксперимента, примененном в [86].
Рассмотрим бифуркацию рождения квазиаттрактора из аттрактора Лоренца, реализующуюся в известной модели Лоренца [26]:
X = -о(X - у), у = -XZ + тх - у, г--Ьг +ху. (4.30)
В [86] методом численного эксперимента с использованием строгих результатов установлены границы области существования ориентируемого аттрактора Лоренца на плоскости параметров г и о для Ь =8/3.
Обратимся к рис. 43, где приведены соответствующие бифуркационные кривые. Кривая Ix отвечает существованию двоякоасимптотической негрубой траектории типа петли седлового состояния равновесия в нуле координат. Кривая Ii характеризует бифуркацию рождения аттрактора Лоренца. Заштрихованная область значений параметров отвечает условиям существования негрубого аттрактора Лоренца. Бифуркационная кривая I3 разде-
10
20
Рис. 4.5. Бифуркационная диаграмма перехода типа "хаос - хаос" в аттракторе Лоренца
0
20
30
40 г
72 ляет пространство параметров системы на области существования аттрактора Лоренца и квазиаттрактора. Пересечение этой линии вызывает бифуркационный переход "хаос-хаос", при котором аттрактор Лоренца разрушается, уступая место квазиаттрактору. В области квазиаттрактора сохраняется сложная структура разбиения фазового пространства на траектории, включающие и гомоклинические. Однако появляются негрубые гомокли-ничсские траектории седловых циклов и как следствие - устойчивые периодические движения с большими периодами и малыми областями притяжения.
