Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 27

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 132 >> Следующая


43. Гомоклииические траектории и стохаспгаость

Обыкновенные дифференциальные уравнения, моделирующие эволюционные процессы в нелинейных диссипативных системах, при некоторых условиях могут иметь решение задачи Коши в виде сложной апериодической траектории, заполняющей ограниченную область в фазовом пространстве. Доказательство факта существования таких решений является математическим результатом, обосновывающим принципиальную возможность возбуждения стохастических автоколебаний в системах с более чем одной степенью свободы в отсутствие флуктуаций. С точки зрения качественной теории такая возможность ведет к появлению н фазовом пространстве системы континуума самопредсльных траекторий, устойчивых по Пуассону, но экспоненциально неустойчивых в смысле Ляпунова. Необходимым условием возникновения таких предельных множеств является существование в системе особых фазовых траекторий, называемых гомоклиническими.

Рассмотрим седлоьое периодическое движение Г некоторой трехмерной (для наглядности) динамической системы- Значения мультипликато-

62 ров седлового цикла I P1 | < 1 и | р> | > 1 отражают тот факт, что в фазовом пространстве системы существуют двумерные инвариатные поверхности: устойчивое W* и неустойчивое Wu многообразия седлового периодического движения. Любая возмущенная траектория, принадлежащая И'1, асимптотически стремится к Г . а по H'" удаляется от цикла (асимптотически стремится к 1 в обратном времени). Качественная картина поведения фазовых траекторий в окрестности седлового цикла дана на рис. 4.1 а.

В нелинейных системах при некоторых условиях может осуществиться взаимопересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового периодического движения. Если такое пересечение трансверсалыю. то линия пересечения многообразий Ifu и Ws образует особую траекторию в фазовом пространстве, открытую А. Пуанкаре и названную им гомоклинической (62, 63]. Отметим, что гомоклинические траектории седловых циклов представляют собой структурно устойчивые объекты в фазовом пространстве системы. Именно с существованием гомоклинических траекторий связана возможность возвращаемое ти неустойчивых траекторий нелинейной системы в ограниченную область фазового пространства, т.е. возможность хаотического решения. Другими словами, выполнение требований существования континуума устойчивых по Пуассину траекторий достигается лить при наличии гомоклинических траекторий.

Анализ гомоклинической траектории удобно проводить в отображении на секущей Пуанкаре (рис. 4.1 0), где эффекту пересечения многообразий соответствует трансверсальное пересечение устойчивой Г* и неустойчивой Г" сепаратрис седловой точки равновесия х°. Гомоклинической траектории в отображении отвечает гомоклиническая точка O1. Однако если возникнет хотя бы одна гомоклиническая точка, то можно показать, что их появится счетное множество (O2. O^.... ) 137]. В окрестности седлового цикла при этом реализуется сложна« картина взаимопересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, характеризуемая наличием бесконечного «мела гомоклинических траекторий. Возникает гомоклиническая структура [11, 20, 62], содержащая множество седловых перио;шческих движений

63 одного тина и совокупность сложных траекторий, двоякоасимптотических к ним.

Наличие гомоклинической структуры в нелинейных диссипативных системах является необходимым условием возникновения динамической стохастичности. Но для реализации режима странного аттрактора этого еше недостаточно. Нужно, чтобы для значений параметров системы, отвечающих области существования гомоклинической структуры, либо отсутствовали вовсе, либо потеряли устойчивость любые регулярные аттракторы. Если это условие выполнено и все траектории в аттракторе седловые, то возникает в строгом смысле динамический хаос, математическим образом которого является странный аттрактор [26,27].

Рассмотренный тип гомоклипических траекторий и структур не является единственным. Сложные гомоклинические структуры возникают с пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий двух и более сед-ловых предельных циклов. Они называются гетероклиническими. Го-моклиническими сейчас называют также и двоякоасимптотические траектории типа петель сепаратрис седлового положения равновесия и траектории, выходящие из одного седла и при t входящие в другое. Естественно, что траектории типа сеиаратрисных петель структурно устойчивыми (или грубыми) не являются, так как разрушаются при скаль угодно малом "шевелении" параметров системы.

Общим важным свойством любых гомоклипических траекторий и структур является то, что при вариации параметров системы в их окрестности осуществляется бесконечное число различных бифуркаций рождения и исчезновения множества регулярных и странных аттракторов. Поэтому сам факт существования в динамической системе тех или иных типов гомоклинических траекторий можно расценивать как критерий сложности ее поведения.

4.4. Размерность и геометрическая структура аттракторов

Результаты численных исследований динамической стохастичности в дифференциальных трехмерных системах и соответствующих им двумерных отображениях, а также в диссипативных модельных отображениях плоскости свидетельствуют о сложной геометрической структуре странных аттракторов уже в этих относительно простых примерах [1-14]. Отличительная особенность странных аттракторов состоит в наличии свойства масштабной инвариантности, выражающегося в повторяемости их структуры на все более мелких масштабах. Следствием закономерностей подобия является универсальность в геометрии стохастических множеств сечений Пуанкаре, в распределении энергии колебаний по частотам и амплитудам в спектре, в зависимостях определяющих характеристик от параметров и др. Это важное свойство дает основания к применению метода ренормализацион-ной группы для нахождения количественных закономерностей, описывающих движение на странном аттракторе с масштабно инвариантной структурой.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed