Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
тд
>'
> і X
Рис. 158. откуда, беря корень КАЧЕСТВЕННЫЙ ХАРАКТЕР КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
243
правые от оси симметрии части, так как 0 в силу условия, наложенного на знак корня).
Кроме этого решения уравнение имеет еще одно решение, удовлетворяющее тем же начальным условиям:
X ¦ Xfs.
Это решение может быть получено по обычным правилам как огибающая семейства парабол х— x0 = \^g(t— ^0)2 с переменным параметром tu. Таким образом, мы видим (рис. 159), что через каждую точку прямой X = X0 проходит не одна, а две интегральные кривые, т. е. условия единственности решения нарушены.
Нетрудно указать физический смысл неединственности решения. Мы исходили при исследовании падения тела не из ньютоновского закона
<Р X
движения т = /, а
из закона сохранения энергии. С точки зрения закона сохранения энергии тело может при выбранных нами начальных условиях как падать равноускоренно, так и находиться в покое. Этим еще раз иллюстрируется, даже для случая одной степени свободы, хорошо известное обстоятельство, что закон сохранения энергии является недостаточным для установления законов движения.
§ 2. Качественный характер кривых на плоскости t, х в зависимости от вида функции f(x)
Предположим, что /(х) — функция, аналитическая для всякого значения x. Посмотрим, какие существуют при этом возможные решения. Пусть уравнение /(х) = 0 не имеет действительных корней, т, dx
Iorда сохраняет все время один и тот же знак, и все решения
суть монотонные функции, возрастающие или убывающие от t =— оо до t = -\- оо. Пусть уравнение /(х) = О имеет действительные корни X = X1, X=x2, ..., х=хк, которые, очевидно, соответствуют состояниям равновесия. Соответствующие интегральные кривые на плоскости t, X — прямые, параллельные оси t и разбивающие плоскость t, X на полосы. Так как интегральные кривые не могут пересекаться 244
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
(в силу теоремы Коши), то каждая интегральная кривая должна целиком заключаться в одной из таких полос и, следовательно, быть монотонной, так как внутри полосы /(х) не меняет знака. Более того, нетрудно видеть, что если интегральная кривая заключена в полосе между двумя параллельными оси t прямыми (х = х,-, X = хг+1), являющимися решениями нашего дифференциального уравнения, то она асимптотически приближается к одной из этих прямых при t— -}-оо, к другой при t—. — сю. Если же интегральная кривая заключена в части плоскости, ограниченной такой прямой, параллельной оси t, только с одной стороны, то эта интегральная кривая либо при возрастании t, либо при убывании t уходит в бесконечность; в другую же сторону она стремится к граничной прямой.
Таким образом, зная /(х), нетрудно выяснить качественный характер кривых на плоскости t, х.
Очевидно, что эти кривые, если только /(х) — аналитическая функция, не могут быть периодическими, так как они монотонны. Это замечание впоследствии окажется существенным.
§ 3. Представление движения на фазовой прямой
Рассмотрим теперь представление исследуемых движений в одномерном пространстве, в частности на фазовой прямой. Метод отображения движения при этом избрал, точка P применяется тот же са-
* мый' как и в слУчае ДВУ"
с мерной фазовой плос-
Рис. 160. кости. Рассматриваемый
случай, однако, более прост, так как здесь мы имеем дело с одномерным движением изображающей точки (рис. 160).
Пусть для данного х изображающая точка имеет скорость /(х), т. е. ее движение подчиняется дифференциальному уравнению
Tt= (4.1)
Предположим, как мы уже делали, что на всей прямой, кроме, может быть, конечного числа точек, /(х) — аналитическая функция. Тогда в силу теоремы Коши задание начального значения х = х0 в начальный момент времени t=t0 однозначно определит дальнейшее движение изображающей точки, по крайней мере до тех пор, пока изображающая точка не подойдет к границе области аналитичности.
Проследим движение во времени изображающей точки, находившейся в момент t = ^0 в области аналитичности. Проследим это движение в пределах от t = — оо до t = -\-oo, если во время движе- § 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПРЯМОЙ 245
ния изображающая точка не выйдет из области аналитичности, и в пределах от ^ = T1 до ^ = Ta (T1 ^0 T2), если изображающая точка к моментам T1, T2 подходит к границе области аналитичности. При этом движении изображающая точка опишет или точку (в частном случае покоя), или отрезок прямой, или полупрямую, или, наконец, всю прямую, которые таким образом являются возможными траекториями движений на фазовой прямой. Характер движения изображающей точки по фазовой прямой не зависит от того, в какой момент это движение началось, так как уравнения движения не зависят явно от времени. С этим связано то обстоятельство, что каждая отдельная траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, начинающихся в различные времена.
Каждым двум точкам А и В, расположенным на одной и той же траектории, соответствует определенный (конечный) промежуток времени, в течение которого изображающая точка проходит расстояние от А до В. Заметим, что изображающая точка, двигающаяся по траектории, не может достигнуть точки равновесия (точки равновесия, как мы знаем, определяются уравнением/(х) = 0) в конечный промежуток времени. Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы Коши. Действительно, если бы изображающая точка, двигающаяся по закону х = ср(^), достигла при каком-то конечном t = ^0 состояния равновесия х = х0, то мы имели бы два различных решения дифференциального уравнения (первое х = ср (^) и второе х = х0), принимающих одно и то же значение при t = t§, что противоречит теореме Коши. Траектория изображающей точки, которая в этом случае асимптотически стремится к состоянию равновесия, не достигая его в конечное время, будет представлять собой или отрезок или полупрямую, концом которой является точка х = х0 (рис. 160). Существенным здесь является то обстоятельство, что сама точка х = х0 не принадлежит к рассматриваемой траектории, а является самостоятельной траекторией. Это ясно в силу того, что какой бы конечный момент времени мы ни взяли, изображающая точка будет находиться на конечном расстоянии от точки х=х0, хотя, может быть, это расстояние и будет очень мало. Сформулируем теперь для фазовой прямой теорему о непрерывной зависимости решения от начальных условий *).
