Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
I = се1', где X = at = / (х0).
Ляпунов утверждает, что если Х<[0, то решение х = х0 уравнения (4.1) устойчиво, т. е. что состояние равновесия устойчиво; если Х>0, то состояние равновесия неустойчиво; если X = O, то уравнение первого приближения, вообще говоря, не может дать ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, Ляпунов утверждает, что в известных случаях уравнения, полученные путем отбрасывания не- § 4] УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
249
линейных членов, могут дать правильный ответ на вопрос об устойчивости решений нелинейных уравнений.
В рассматриваемом простом случае весьма нетрудно обосновать этот рецепт исследования устойчивости. Умножая обе части уравнения (4.3) на будем иметь:
T djIr=aP + ^ + ...=F(S). (4.5)
Представим F(S) при помощи теоремы Тейлора, замечая, что F(O) = O, F(O) = O, F" (0) = 2^,
^)=1?^) (где0<9<1), и положим р=у?а; тогда уравнение (4.5) примет вид
Tt = T72F"^- (4-6)
Если F" (0) 0 (или, что то же самое, O1 0), то в силу непрерывности функции F" (S) и /-""(J)SX^O для достаточно малых |?|.
Отсюда следует по (4.6), что и для тех же |S|. Если р =
= уSa уменьшается, то уменьшается и и никогда не сможет
начать увеличиваться. Отсюда следует, что условие ^1=/(^)^0 достаточно для устойчивости по Ляпунову рассматриваемого состояния равновесия X = X0, так как в этом случае вокруг х = X0 всегда существует такая область начальных значений, из которой наша изображающая точка будет асимптотически приближаться к состоянию равновесия.
Совершенно таким же образом можно показать, что при O1 = =/'(х„)]>0 состояние равновесия х = х0 неустойчиво по Ляпунову.
Таким образом, рецепт Ляпунова оправдывается, так как результат исследования устойчивости состояния равновесия при помощи полного нелинейного уравнения
g = A1S+ «,&'+«,&»+ ...
совпадает с результатом исследования устойчивости при помощи линейного уравнения
если O1ф 0. Основание для указанного отбрасывания нелинейных членов, таким образом, состоит в том, что нелинейные члены при малых значениях ? весьма малы по сравнению с основным линейным членом; когда же линейный член равен нулю, то вопрос требует особого исследования. 250
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
Мы привели рассуждения, связанные с отбрасыванием нелинейных членов, поскольку аналогичные рассуждения нам будут встречаться при рассмотрении более сложных динамических систем и поскольку в нашем простейшем случае особенно отчетливо вырисовывается идея, лежащая в основе метода Ляпунова. Но, с другой стороны, в нашем конкретном случае одного уравнения первого порядка нетрудно непосредственно, исследуя характер функции /(х) вблизи состояния равновесия х = х0, однозначным образом заключить об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия.
Так как /(xu) = O, то здесь могут быть три существенно различных случая:
1) f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х = х0 с плюса на минус при возрастании х (рис. 163). Отсюда следует на основании предыдущего, что изображающая точка, находящаяся в доста-
i'спюйчивое состояние раднобесия
Рис. 163.
Рис. 164.
f(x)
точной близости к состоянию равновесия х = х0, будет асимптотически к нему приближаться при возрастании t. Ясно, что в этом случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.
2) f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х^=х0 с минуса на плюс при возрастании х (рис. 164). Это значит, что изображающая точка, помещенная в достаточной близости к состоянию равновесия, будет удаляться от состояния _равновесия; отсюда следует, что состояние равновесия неустойчиво в смысле Ляпунова.
3) f(x) не меняет знака вблизи
_? состояния равновесия х = х0 при
возрастании х (рис. 165). Это значит, что изображающая точка, помещенная достаточно близко к положению равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная с другой — удаляться. Ясно, что состояние равновесия является неустойчивым по Ляпунову.
Рис. 165. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
251
Для рассматриваемого случая условия устойчивости можно сформулировать еще более кратко. Перенесем начало координат в точку Тогда для устойчивости необходимо, чтобы X и / по обе стороны от положения равновесия были разных знаков, так как в про-
dx
тивном случае, т. е. когда и х одного знака, раз возникшее отклонение от положения равновесия будет возрастать, т. е. состояние равновесия будет неустойчиво.
Все эти случаи могут быть исследованы и аналитически.
Если G1 ф 0, мы получим тогда как раз то, что мы нашли, следуя Ляпунову.
§ 5. Зависимость характера движений от параметра
Во всякой реальной системе на связь между скоростью и координатой, определяемую уравнением (4.1), в той или иной степени влияет ряд факторов. Так, например, если мы рассматриваем механическую систему и эта связь обусловлена наличием сухого трения, то величина трения зависит от ряда факторов: давления между трущимися поверхностями, их температуры и т. д. Эти факторы часто считают неизменными, хотя, строго говоря, они никогда не бывают абсолютно постоянными. Поэтому небольшие изменения этих факторов неизбежны во всякой реальной системе, и с этим всегда необходимо считаться; значит, необходимо знать, как изменяется характер движения при небольших изменениях этих факторов. Кроме того, в ряде случаев нас специально интересует вопрос о том, как изменяется характер движения в системе при изменении того или другого фактора. На математическом языке мы можем сформулировать эту задачу следующим образом: правая часть нашего дифференциального уравнения зависит от некоторого параметра X;
