Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем учитывать других паразитных емкостей и параметров. Заметим, что паразитную емкость сеточного узла лампы JIi в схемах обычно компенсируют включением соответствующей емкости параллельно сопротивлению r1.
9 Теория колебаний 258
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
и (г, = (Ii)max = const). При U' анодный ток лампы Jl2 отличен от нуля, причем увеличение и вызывает увеличение I2 и напряжения на катодном узле Uk и, следовательно, уменьшение iu пока, наконец, при U = U" лампа JI1 не запрется. При u^>U" лампа JIi заперта, Ii = 0. Напряжения U' и U", при которых запираются соответственно лампы JI2 и JI1, а также максимальный ток (J1)max. конечно, зависят от напряжения E (с ростом E они увеличиваются). В то же время мы будем считать, что наибольшая крутизна характеристики на падающем участке (ее абсолютное значение мы будем обозначать через S0) не зависит от Е. Далее, напряжение на сетке лампы Jl2
Rv
где В =-j5—р-75--коэффициент передачи делителя напряжений, со-
д1 "г ks
стоящего из сопротивлений Ri и R2'). Исключая с помощью этого соотношения Uai из уравнения (4.16), получим следующее дифференциальное уравнение первого порядка для напряжения и:
(4л6а)
Состояния равновесия определяются уравнением
(/Ь+жт*гН <4Л7>
и могут быть найдены графически как точки пересечения характеристики ламповой группы г,=г,(гг, Е) с «нагрузочной» прямой (4.17). В зависимости от напряжения E на сетке лампы JIi, а также от других параметров схемы имеется либо одно, либо три состояния равновесия.
Если наклон «нагрузочной» прямой (4.17) 4-(-J--j—^—|——
P \На1 Ri-T R
больше наибольшего наклона падающего участка характеристики S0, что имеет место при
я So^1 [
IH__Ral -
+ Ri + R*
') Напомним, что мы пренебрегаем паразитной емкостью сеточного узла лампы Лз. Если паразитная емкость этого узла равна C2, то выражение для коэффициента передачи делителя напряжений, приведенное в тексте, остается
r с
справедливым, если сопротивление r1 зашунтировано емкостью, равной а .
ri ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
259
Ни
то при каждом E имеется единственное состояние равновесия и притом, как нетрудно убедиться, устойчивое. В этом случае (см. рис. 178) равновесное значение напряжения U на сетке лампы Jli монотонно и непрерывно убывает с ростом Е, и зависимость выходного напряжения Uai на аноде лампы Jli от E имеет вид, изображенный на рис. 179. Выходное напряжение Uai является непрерывной функцией входного напряжения E (при условии, что E изменяется достаточно медленно), и наша схема работает как обычный усилитель напряжений (с большим коэффициентом усиления из-за наличия в схеме положительной обратной связи). Если же ь SaRal ^
Рис. 179.
1
т. е. наклон прямой (4.17) меньше наибольшего наклона падающего участка характеристики ламповой группы (рис. 180), то на некотором интервале напряжений Е1<^Е<^ЕІ схема имеет три состояния
равновесия U1, Ui и U3, из которых два (U1 и Ui) являются устойчивыми и одно(^У2)—неустойчивым '). Поэтому теперь Um
Рис. 180.
зависимость выходного напряжения Uaiот E будет изображаться кривой S-образной формы (рис. 181); пунктирный участок соответствует неустойчивым состояниям равновесия. Напряжения E = Ex и E=Eit при
rJ Действительно, линеаризованное уравнение, справедливое вблизи состояния равновесия u = U, имеет вид:
Ca di
где
^=IU-U и А =
I dt 1 ( 1
= - И • Є,
1
I+ (dM R1 + Rz J^ [du /и— и'
P Uai
Для состояний равновесия U=U1 a U = U3 Л > 0 и для U=U3 Л< 0; поэтому первые два равновесных состояния устойчивы, а последнее неустойчиво.
9' 260
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
которых происходят слияние состояний равновесия и изменение их числа, являются бифуркационными. Строго говоря, характеристика схемы, приведенная на рис. 181, является статической: она дает зависимость равновесных значений выходного напряжения Uai от постоянных во времени значений напряжения E на сетке лампы JIv Однако эта характеристика верна с некоторой степенью точности и для переменных E (тем точнее, чем медленнее изменяется Е). Поэтому, если мы будем достаточно медленно (и непрерывно) изменять входное напряжение Е, то в точках бифуркации (при E=Eil Е^> 0 и при E = E1, Е<^ 0) будут иметь место быстрые (тем более быстрые, чем меньше паразитные емкости схемы) изменения выходного напряжения, происходящие в соответствии с уравнением (4.16а).
Таким образом, в этом случае рассматриваемая схема работает как ламповое реле, обладая основными характерными свойствами релейных устройств (наличие быстрых переходов из одного состояния равновесия в другое, «гистерезисная» характеристика).
4. Движение глиссирующего судна. Рассмотрим теперь несколько примеров механических систем, движение которых может быть удовлетворительно описано одним дифференциальным уравнением первого порядка. В качестве первого примера рассмотрим прямолинейное движение глиссирующего судна (без учета килевой и бортовой качки). Уравнение его движения согласно второму закону Ньютона может быть записано в виде:
