Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2гс
л=2
OO СО UJ
л = 2
2л ш
Joa (О
О
4ft8
P2 -f Q2 лої-
Таким образом, условие малости клирфактора имеет вид
2it
Ш
I
G2 (К) dt ^ P8 4- Q2
4fta
Если Ф (^) задано, то при достаточно малом h клирфактор сколь угодно мал, каков бы ни был спектр Ф (^), если только P2 -j- Q2 Ф 0.
Нас интересует сейчас не случай внешней силы (вынужденные колебания), а автоколебания, где сама система порождает действующую на нее силу. Уравнение движения здесь имеет вид:
X -{- шрс -
¦¦ F (jc, х) — 2hx.
(3.59)
Предположим, что нам известно периодическое движение этой системы, соответствующее автоколебательному процессу: jcr = cp(^), x = y(t). Очевидно, что это решение удовлетворяет уравнению:
X 4-C05JC = F [ср C^), <f{t)]^-2hx,
(3.61)
т. е. уравнению системы, находящейся под действием силы, явно зависящей от времени1). Таким образом, автоколебания можно рассматривать как вынужденные колебания, поддерживаемые внешней силой, вид которой определяется видом самих автоколебаний. Если функция времени F [у [t), <р(0] такова, что для нее выполняются условия резонанса, в частности если ее период достаточно близок
к —, то целесообразно говорить об авторезонансе2).
') Заметим, что уравнению (3.61) удовлетворяет только рассматриваемое периодическое движение и, вообще говоря, ему не удовлетворяют другие движения, определяемые уравнением (3.59). Отсюда следует, что, исходя из решений этого неавтономного уравнения, нельзя, например, рассматривать вопросы устойчивости.
s) В частности, при помощи представления об авторезонансе можно заключить, что если функция F [х (t), к (<)] в уравнении (3.59) как функция времени практически не зависит от характера колебаний в контуре (например, 1 236 НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. IlI
Заметим, что мы имеем известный произвол в выборе уравнения вида (3.61); например, часто бывает целесообразно писать это уравнение в виде
* + <Лv = F (ср, + (id4 — ср — 2hx, (3.62)
где и) — частота автоколебаний, и таким образом рассматривать действие измененной внешней силы
F1 (?. <f) = F (<р, ср) + К — ")?) ср
на линейный осциллятор с иной («поправленной») частотой. Ибо может оказаться, что при написании уравнения в виде (3.61) мы не будем иметь выполнения условий резонанса, в то время как при написании в виде (3.62) и подходящем выборе U) они будут выполняться.
Покажем теперь, как, пользуясь представлением об авторезонансе и заранее постулировав существование у уравнения (3.59) периодического решения, близкого к синусоидальному, можно получить приближенные выражения для амплитуды основного тона и для частоты этого решения.
Предположим, что периодическое решение уравнения (3.59) близко (в смысле малости клирфактора) к синусоидальному колебанию:
лг0 (t) = A cos и)t\ jc0 (t) = — Au) sin mt,
где А и id — пока неопределенные константы. Подставляя тогда в уравнение (3.62) вместо точного решения ср «нулевое приближение» jc0 (?) = A cos и)t, мы можем опять, теперь уже приближенно, рассматривать автоколебания, как вынужденные колебания. Мы получаем, таким образом, следующую задачу о вынужденных колебаниях:
jc -J- (d4jc = F1 (Л cos mt, — Лш sin urf) — cIhx. (3.63)
Разлагая F1 (/leosurf, — Ли) sin ш^) в ряд Фурье, имеем (см. (3.60а)):
F1 (Л cos mt, — Am sin mt) = P (Л) cos mt -J- Q (Л) sin mt -J- Q (Л, t), где
ш
P(A) = JV1 (Л cos mt, — Am sin urf) cos mt dt,
о
2ж_ ш
Q (Л) = ~ JV1 (Л cos mt, — Am sin mt) sin mt dt.
о
от величины размахов) и если при уменьшении затухания контура ее период
2я
стремится к периоду гармонического осциллятора —, то при уменьшении за-
ш0
тухания контура мы будем получать колебания все более и более синусоидальные. Это замечание имеет практический интерес. В частности, как раз такое положение дела мы имели в теории генератора с /-характеристикой. § 7] АВТОКОЛЕБАНИЯ, БЛИЗКИЕ К СИНУСОИДАЛЬНЫМ 23 1
Вынужденное решение уравнения (3.63) имеет вид:
( Л __ P(A) sin at — Q (Л) cos at , . . >— 2Ы Ггпл' *>'
где Z1 (Л, t) — члены, порождаемые нерезонансным членом О (Л, t). Если предположить, что ш, P(A) и Q (Л) заданы, то можно сказать, что существует определенное собственное колебание
P (Л) sin uit — Q (Л) cos at 2/ш '
для которого резонансные члены внешней силы компенсируются развиваемой этим собственным колебанием силой трения. Очевидно, что мы можем отождествить это собственное колебание с тем собственным колебанием X0 (t) = A cos u>t, которое по нашему предположению порождает внешнюю силу. Это сразу дает два уравнения'):
Я (Л) = О, Q (Л) -j- 2/гшЛ = 0, (3.64)
которые «отбирают» те Л и ш, которые характеризуют возможные автоколебания, близкие к синусоидальным.
Однако следует ясно отдать себе отчет, что найденные по уравнениям (3.63) амплитуда и частота, вообще говоря, отнюдь не являются амплитудой основного тона и частотой точного периодического решения (даже если, как мы предположили, такое точное решение действительно существует и имеет малый клирфактор2)), так как мы при переходе к «вынужденному» рассмотрению вместо точного решения подставили Л cos u>t. Можно ожидать, что мы получим следующее приближение к амплитуде основного тона и частоте
