Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1J Хотя автоколебания по своей физической природе, по характеру действующих сил, существенно отличаются от колебаний консервативных систем, тем не менее форма установившихся автоколебаний может сколь угодно мало отличаться от формы колебаний консервативной системы.
В частности, в ряде практически весьма важных случаев форма автоколебаний весьма мало отличается (в смысле малости клирфактора) от формы колебаний линейного гармонического осциллятора. Например, глядя на осциллограмму колебаний генератора с J-характеристикой в случае малого Л, мы не сможем отличить ее от осциллограммы гармонического осциллятора.
2) Чтобы пояснить смысл этого утверждения, приведем доказательство. Рассмотрим систему
dx
Tt=*
-? = — л: + ч (X, у).
dy dt
К такой системе легко преобразуется уравнение (3.59) после надлежащей замены переменных.
Пусть дано, что эта система имеет периодическое движение, фазовая траектория которого лежит вне круга радиуса R0. Пусть, далее, вне круга радиуса R0
I? (л:, .у) I < sR0, где Переходя к полярным координатам, имеем:
• , У?(Х,У)
Вне круга радиуса R0
xf(x, у)
<
і T (X, у) I
<е <;
У f(x,y) г
<! T (х, у) I < eR0.
Дадим оценку «поправки» к периоду гармонического осциллятора:
2к
J
f(t)dt:
•2п+а, где j а I <с2тсе, § 7] АВТОКОЛЕБАНИЯ, БЛИЗКИЕ К СИНУСОИДАЛЬНЫМ
23 1
кими системами мы имели дело в теории часов и в теории генератора с !-характеристикой и с колебательным контуром в цепи сетки, так как очевидно, что если мы имеем дело с мгновенной передачей конечного количества движения, то это может произойти только в результате действия бесконечно большой силы.
Вопрос о характеристиках и, в частности, о спектральном составе периодического процесса, по крайней мере для случая автоколебаний, близких к синусоидальным, может быть приближенно продискутирован при помощи представления об авторезонансе, о котором мы уже упоминали при изложении теории генератора с !-характеристикой.
Напомним предварительно некоторые элементарные положения обычной теории резонанса. Мы говорим о резонансе в линейном осцилляторе, когда под действием внешней периодической силы и силы трения, пропорциональной скорости, в нем поддерживается движение, близкое к одному из его собственных колебаний в том смысле, что период этого движения достаточно близок к собственному периоду осциллятора, а клирфактор достаточно мал. Пусть мы имеем
внешнюю периодическую силу Ф (t) с периодом действующую на
гармонический осциллятор с линейным затуханием, собственная частота которого также равна оо (этот частный случай нас главным образом будет интересовать):
л: + <Лс=Ф(0 — Ihx. (3.60)
Представим Ф (t) в виде:
Ф(^) = Pcosorf-J-Qsinorf-J-G (О, (3.60а)
т
j* і?(t) dt = — 2я, где X — искомый период.
Отсюда
JiW
< 21СЄ, что дает поправку к периоду |т — 2я | ¦< 4яе.
. , , dt
2к
Оценим максимальное изменение радиуса-вектора за период:
T T
Ar < J I гmax I dt < J tR0 dt < tR0 (2n + 4nz). о 0
Отсюда следует, что замкнутая траектория, соответствующая периодическому решению, лежит на фазовой плоскости между двумя концентрическими окружностями, разность радиусов которых меньше R0 (2яе 4яе2). Само собой разумеется, что если мы заранее знаем, что траектория периодического движения лежит между окружностями с радиусами R0 и Ri (Ri > R0), то нам достаточно требовать малости <р (х, у) лишь в области между двумя окружностями. 1 234
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
выделив резонансные члены'). Существует определенное собственное колебание
... P sin at —-Q cos<j)< jfI (0 = —-Эй-^
для которого резонансные члены внешней силы компенсируются развивающейся при этом колебании силой трения. Нетрудно видеть, что при достаточно малом h (если Pi -f- Q2 ф 0) в системе будет поддерживаться под действием силы Ф (t) периодическое движение, сколь угодно близкое к собственному колебанию (I) в том смысле, что для этого движения собственное колебание (I) будет как угодно сильно доминировать над остальными членами соответствующего разложения в ряд Фурье, или, говоря более точно, в том смысле, что для этого движения клирфактор будет как угодно мал. Докажем это утверждение. Обозначим разность между точным решением уравнения (3.60) и собственным колебанием X1 (t) через z {t)t тогда X (t) = X1 (t) -(- Z (t). Очевидно, что z(t) порождается нерезонансными членами Q(t) и удовлетворяет уравнению
г -f- Л = G (t) — 2hz,
где
(X)
G (0 = § + 2 (Pn cos nmt + Qn sin mat).
л = 2
Понимая в дальнейшем под z(t) «вынужденное» решение этого уравнения, т. е.
OO
Z(0 = ?-0+ ^CnCOS (ли*+ <ря),
л = 2
где
С = Vrt + Qn ^ /ії + QI
" j/(n2-l)2"4 + 4AW ш2
мы можем записать квадрат клирфактора рассматриваемого периодического движения в виде:
OO
^c3n
_ я = 2
P2 + Q2 > 4Л2м2
') То есть подобрав постоянные PwQ так, чтобы
2ic 2 it
о> ш
J G (О COS at dt = 0, Jg (<) sin at dt = 0. § 7] АВТОКОЛЕБАНИЯ, БЛИЗКИЕ К СИНУСОИДАЛЬНЫМ
23 1
или, так как
