Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство автоколебаний — независимость амплитуды от начальных условий — является весьма характерным их признаком. Однако не всегда автоколебательные системы обладают этим свойством в совершенно «чистом» виде. Так, например, амплитуда колебаний маятника часов, как мы видели, в известном смысле зависит от начальных условий. Если отклонить маятник мало, то он будет совершать затухающие колебания, часы остановятся. Для того чтобы установились незатухающие колебания (чтобы часы пошли), обычно нужно дать маятнику достаточно большое начальное отклонение или сообщить достаточно большую начальную скорость. Таким образом, целой области начальных условий (начальное отклонение больше данной величины) соответствует одна и та же амплитуда незатухающих колебаний. Как мы увидим в дальнейшем, в некоторых автоколебательных системах может существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами, и тот или другой из них устанавливается в зависимости от начальных условий, хотя и в этом случае целой области начальных условий соответствует одна и та же амплитуда незатухающих колебаний.
Другая, типичная черта автоколебаний заключается в следующем: во всякой автоколебательной системе происходит компенсация потерь за счет какого-то источника энергии, и поэтому в автоколебательной системе непременно должен существовать такой источник энергии, причем, так как мы рассматриваем случай автономной системы, т. е. системы, на которую не действуют силы, явно зависящие от времени, то и источник энергии должен создавать силу, которая сама по себе не является заданной функцией времени, а определяется самой системой. Такова, например, анодная батарея в рассмотренном в предыдущей главе примере с ламповым генератором (или заводной механизм в часах); батарея дает некоторое постоянное напряжение, не зависящее от времени, но зато энергия, отдавае- § 7] АВТОКОЛЕБАНИЯ, БЛИЗКИЕ К СИНУСОИДАЛЬНЫМ 23 1
мая батареей, будет при колебаниях периодически изменяться. Так же как и для случая лампового генератора, для всех автоколебательных систем является весьма характерной именно такая связь между системой и источником энергии. Сам по себе источник отдавал бы постоянную энергию, но вследствие того, что работа, которую совершает этот источник, зависит от состояния системы (от ее координат и скоростей), действие источника энергии может стать периодическим, причем этот период определяется свойствами самой автоколебательной системы. Таким образом, автоколебательная система представляет собой устройство, которое из постоянного источника энергии периодически черпает известные порции энергии, т. е. за счет непериодического источника энергии создает периодический процесс. С точки зрения этого определения сразу видно, что, например, паровая машина является автоколебательной системой.
§ 7. Предварительное рассмотрение автоколебаний, близких к синусоидальным
Весьма общим классом автоколебательных систем с одной степенью свободы являются системы, описываемые уравнением')
x + myc = F(x, X) — 2hx=f{x, х). (3.59)
К уравнению такого типа мы всегда приходим, если в составе нашей системы имеется колебательный контур с линейным затуханием. Если мы, например, имеем дело с обычным ламповым генератором, то 1 R
с»2 = дн, 1h = j-, a F(x, х) — приведенная ') э.д.е., действующая на
колебательный контур благодаря обратной связи. Работа этой силы, в конечном счете, восполняет потери энергии, обусловленные наличием сопротивления, благодаря чему и становится возможным периодический процесс.
Как по заданной функции f(x, х) (которую можно, например, предположить аналитической на всей фазовой плоскости х, х) определить, возможны ли в системе устойчивые автоколебания, и если возможны, то хотя бы приближенно найти характеристики (амплитуду, период, форму) таких колебаний — эта задача является основной для теории нелинейных колебаний в автономных системах с одной степенью свободы. В сущности почти все дальнейшее изложение в той или иной форме связано с этой основной задачей. Однако, прежде чем перейти к систематическому изложению теории, мы
') В ряде простейших случаев F(x, х) не зависит от х, так что вместо (3.59) имеем:
X + 4>lX = !(*).
*) Размерность F(x, х) может не совпадать с размерностью электрвдвижу-Щей силы. 1 232
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
сейчас дадим предварительное, нестрогое рассмотрение важного класса автоколебаний, так называемых автоколебаний, близких к синусоидальным1), имеющее целью уяснить постановку задачи теоретического изучения автоколебаний. О колебаниях," близких к синусоидальным, предварительно заметим следующее. Если, например, мы знаем, что периодическое решение уравнения (3.59) существует и соответствующая ему замкнутая фазовая траектория расположена на фазовой плоскости вне круга фиксированного радиуса R0 и если f(x, х) достаточно мала всюду вне этого круга (мы предполагаем w0 заданным), то мы можем сказать, что наше решение будет достаточно близко к синусоидальному2). С другой стороны, как нетрудно видеть, требование малости функции f(x, х) отнюдь не является необходимым. Возможны автоколебания, имеющие форму сколь угодно близкую к синусоидальной, хотя функция /{х, х) принимает в некоторые моменты движения сколь угодно большие значения. С та-
