Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Эти уравнения часто называют уравнениями, получаемыми путем приравнивания нулю коэффициентов при «резонансных членах». Поясним происхождение этого названия и одновременно дадим другой, с известной точки зрения более убедительный, вывод этих уравнений. Именно, вместо уравнения (3.62) рассмотрим уравнение
л: + <А* = F (ср.ср') + (а2 -а') х- 2Лср =/, (ср,?).
Предполагая существование колебаний, близких к синусоидальному колебанию X = A cos at, получаем задачу из теории вынужденных колебаний гармонического осциллятора без трения:
X+ Ui2X = P (A) COS «0* + [О (Л) +2huiА ] sin at + G (A, t).
Как известно, отсутствие неограниченного нарастания колебаний может иметь место в рассматриваемом случае лишь тогда, когда коэффициенты при резонансных членах внешней силы равны нулю. Это замечание снова приводит к уравнениям (3.64).
s) Следует подчеркнуть, что наличие действительных решений уравнений (3.64) еще само по себе ничего не говорит о существовании периодических решений дифференциального уравнения (3.59). 1 238
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
точного решения, если мы при «вынужденном» рассмотрении вместо нулевого приближения подставим «первое приближение»1):
X1 (t) = Л cos о)t Z1 (A, t).
Мы получим совершенно аналогичным образом (вместо (3.64)) новые, вообще говоря, измененные условия для определения Л и ш, а также найдем «второе приближение»:
X2 (t) = A cos соt -\- Zi (A, t).
Такой процесс составления уравнений для определения Л и со и составления последовательных «приближений» можно продолжать неограниченно. Если этот процесс сходящийся, то может оказаться, что мы таким путем найдем точное решение. Для обоснования этого процесса и для доказательства существования периодического решения нужно специальное математическое рассмотрение. Мы затронем связанные с этим вопросы в дальнейшем, когда будем изучать количественные методы Пуанкаре.
Предположение о том, что автоколебания близки к синусоидальным, широко используется в теории колебаний для решения ряда задач. Например, такие приближенные количественные методы рассмотрения ламповых генераторов, как метод Баркгаузена — Мёллера (метод «средней крутизны» или «квазилинейный» метод) [18, 136, 178, 73, 74, 291 или как метод Ван-дер-Поля [186, 90], основаны на этом предположении. Также и методы Пуанкаре [184, 185] удобно применять в тех случаях, когда колебания близки к синусоидальным 2).
В заключение параграфа для иллюстрации введенного здесь представления об авторезонансе проведем вычисление периода и амплитуды автоколебаний часов со спуском с отходом назад и балансиром с собственным периодом — часов, рассмотренных нами в пункте 2 § 5 .настоящей главы.
Запишем уравнение движения таких часов (3.49) в виде
х co2jc = F1 (jc, jc) -f (со2 — 1) л: = F(X, JC),
*) Заметим, что если «первое приближение» с достаточной точностью представляет искомое периодическое движение, которое по нашему предположению близко к синусоидальному, то для него должно соблюдаться условие малости клирфактора. Однако, если это условие выполнено, то мы, вообще говоря, еще ничего не можем сказать о том, будут ли полученные из уравнений (3.64) Лише достаточной точностью представлять тон нашего решения, и о том каков будет клирфактор для дальнейших «приближений».
2) Условия близости колебаний к синусоидальным соблюдаются, конечно, далеко не всегда. В некоторых случаях эти условия не могут быть выполнены, а в других специально выбирают такие условия работы системы, чтобы колебания имели заданную форму, значительно отличающуюся от синусоидальной. Таковы, например, всевозможные мультивибраторы, генераторы напряжения пилообразной формы и т. п. § 7] АВТОКОЛЕБАНИЯ, БЛИЗКИЕ К СИНУСОИДАЛЬНЫМ 23 1
где Z71(X1X) = — г sgn X — (—1)"Х— сумма приведенных моментов сил сухого трения и спускового устройства. Предположим, что периодическое решение этого уравнения близко к синусоидальному:
X = A cos mt
(это, как мы видели, имеет место при Такое колебание, а также вид функции F1 для этого колебания изображены на рис. 156. Вычислив первые коэффициенты Фурье для функции F [X (0, -*(*)]
Q04) = (cos-l),4-^j/l-l,
получим следующие уравнения (в соответствии с (3.64)) для амплитуды А и частоты со периодического решения:
откуда
Учитывая, что автоколебания рассматриваемых часов близки к синусоидальным только при г, Х<^1, получим:
— +4 Y^-Z =
Полученные соотношения, очевидно, совпадают с формулами (3.54) и (3.57), являющимися результатом строгого рассмотрения той же задачи для случая г, Х<^1. ГЛАВА IV
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ')
Мы приступим сейчас к систематическому изложению теории нелинейных систем и методов исследования и решения нелинейных дифференциальных уравнений, обратив особое внимание на вопросы так называемого качественного интегрирования, о важности которого мы уже упоминали. Однако наша задача будет заключаться не столько в том, чтобы дать математически безупречные доказательства всем высказываемым утверждениям, или в том, чтобы дать исчерпывающую классификацию всех возможных случаев, сколько в том, чтобы пояснить идею качественного интегрирования и развить существующие методы в связи с их применениями к теории колебаний и к некоторым другим вопросам.
