Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрели случай достаточно малых сопротивлений в цепи дуги — слу- I6 чай R < I (]/ Imait, где I (]/ Imax — НаибОЛЬ- J5 шее абсолютное значение наклона характеристики дуги и = ф(і) на падающем? участке. Если же
Я > If Imax, (4-13)
то при любых E имеется только одно состояние равновесия и притом устойчивое (рис. 173). Устойчивость состояния равновесия получается при любых L, в частности при сколь угодно малых L. Этот вы вод находится в определенном противоречии с экспериментальными данными: оказывается, условие (4.13) не является достаточным для устойчивости состояния равновесия на падающем участке характе-
рне. 171.
I § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
255
ристики. Это говорит о том, что, рассматривая схему с вольтовой дугой в виде динамической системы первого порядка (с '/а степени свободы), мы не учли каких-то параметров схемы, существенных для рассматриваемого случая. Такими существенными параметрами в случае больших R и малых L являются малая паразитная емкость дуги и инерционность ионных процессов в дуге. Эту задачу о режимах горения вольтовой дуги, в цепи которой имеются не только сопротивление и самоиндукция, но и емкость, мы рассмотрим в § 5 гл. V ').
2. Динатрон в цепи с сопротивлением и емкостью. В качестве второго примера электрической системы с степени свободы мы рассмотрим схему, изображенную на рис. 174 2).
Уравнение такой схемы (при учете только тех элементов, которые изображены на рис. 174) запишется на основании законов Кирхгофа в следующем виде:
(4.14)
Рис. 173.
RCd? + u + Ri = E.
Здесь г = ср (гг) — анодный ток тетрода, являющийся нелинейной, но однозначной функцией анодного напряжения и. График этой зависимости (анодная характеристика
тетрода), как мы уже указы- 1*<рМ/
вали в § 7 гл. I, имеет падающий участок (рис. 175).
Рис. 174.
Рис. 175.
Состояния равновесия U=U определяются уравнением E — и — Ri = O
(4.15)
') Как мы там увидим, инерционность ионных процессов в дуге может быть приближенно заменена некоторой «эквивалентной» самоиндукцией, включенной последовательно с дугой.
а) Если анодная цепь тетрода не содержит специально включенной емкости, то под емкостью С следует понимать малую паразитную емкость анодного узла, составляемую из емкости между анодом тетрода и другими его электродами, а также из паразитной емкости сопротивления R. 256
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
и могут быть найдены графически как точки пересечения характеристики і =9 (и) и «нагрузочной» прямой E— к — Ri = О (см. рис. 175). Очевидно, при заданной характеристике тетрода г" = ср (и) в зависимости от значений emr имеется либо одно, либо три состояния равновесия. Если считать параметром схемы напряжение анодного питания Е, а сопротивление R считать фиксированным, то можно на плоскости Е, U построить кривую (4.15), выражающую зависимость координат состояний равновесия U от параметра E (при фиксированном R). Такое построение выполнено на рис. 176. Здесь воз-
U и
и
¦От и
u1 u2 u3 -- о « . » о « и
в)
Рис. 176.
можны два случая. Если сопротивление R достаточно мало (/?|<р'|ша*<С1» где I ср' |Шах — наибольшее абсолютное значение крутизны характеристики на падающем участке), то при любых E имеется одно состояние равновесия (рис. 176, а). Если же R | <р' Imax 1, то на некотором интервале напряжений E имеется три состояния равновесия (рис. 176, б). В последнем случае значения E1 и Ei являются бифуркационными.
Заштриховав область, в которой
E—u — Ri> О
или ^ 0, нетрудно определить устойчивость состояний равновесия. Именно, точки кривой (4.15), лежащие над этой областью, соответствуют устойчивым, а точки под ней — неустойчивым равновесным состояниям. Таким образом, в тех случаях, когда имеется одно состояние равновесия, оно всегда устойчиво-, если же имеется три § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА 257
состояния равновесия, то крайние состояния (U=U1 и U=U3 на рис. 176,6) устойчивы, а среднее (U=Ui) неустойчиво. Фазовые прямые при наличии одного и трех состояний равновесия изображены на рис. 176, в) при любых начальных условиях система приближается к одному из состояний равновесия.
3. Ламповое реле. К динамической системе первого порядка приводит также рассмотрение лампового реле, схема которого изображена на рис. 177 (на этой схеме емкость Ca изображает малую, паразитную емкость анодного узла лампы JIi)').
Для анодного узла лампы JIi на основании законов Кирхгофа получаем уравнение
+ + (4Л6)
(при составлении этого уравнения мы пренебрегли сеточным током лампы JIi, так как обычно рассматриваемая схема работает практически
без сеточных токов ламп). Пренебрегая паразитной емкостью катодного узла, мы можем считать, что анодные токи ламп являются функциями напряжений ? и и на сетках ламп JIi и Jli (и является координатой состояния схемы, E мы будем рассматривать как параметр; напряжения и и Е, равно как и иаі, отсчитываются от заземленного узла схемы).
На рис. 178 изображено семейство характеристик ламповой группы (лзмп JIi и JIi с общим катодным сопротивлением), дающих зависимость анодного тока Ii лампы JIi от напряжения и (при различных, но постоянных напряжениях Е). При достаточно малых и (и ^U') лампа JIi заперта (^ = 0) и анодный ток Z1 лампы JIi не зависит от
