Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 93

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 335 >> Следующая


Наиболее общим случаем среди тех, которыми мы ограничили наше рассмотрение, является нелинейная система, описываемая одним нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, или, что то же самое, двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Однако мы начнем изложение общей теории не с этого общего случая, а с более простого случая нелинейных систем первого порядка (систем с степени свободы), т. е. таких динамических моделей, движение которых описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:

Tt=ft*\ (4-І)

К таким динамическим моделям приводит при соответствующих упрощающих предположениях рассмотрение ряда задач, имеющих определенный физический интерес.

Прежде всего мы рассмотрим системы, движение которых с достаточной точностью определяется уравнением (4.1) справой частью f(x), являющейся аналитической функцией на всей прямой х, за исключением, может быть, некоторого конечного числа точек.

') § 6 п. 2 данной главы переработан Н. А. Железцовым, § 5 (пп. 2—4, 6), § 6 п. 1 и § 7 написаны им заново. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

241

Общая теория, которую мы будем излагать, имеет конечной целью установление зависимости координаты системы от времени, т. е. вида функции X (t), установление же картины в одномерном фазовом «пространстве», т. е. на фазовой прямой, играет лишь вспомогательную, хотя и весьма существенную роль.

§ 1. Теорема существования и единственности

Рассмотрим плоскость t, х. Решениями нашего уравнения jc = cр(^) являются кривые на плоскости t, х. Эти кривые мы также будем называть интегральными кривыми (их не следует, однако, смешивать с фазовыми траекториями и интегральными кривыми на фазовой плоскости).

Пусть нам даны начальные условия: jc = jc0 при t = t0, или, иначе, пусть на плоскости t, х дана точка с координатами (t0, jc0). Если для уравнения (4.1) выполнены условия теоремы Коши1) (например, если функция /(лс) является аналитической на некотором интервале, X

'' Линия нарушения голоморфизма

"Интегральная кривая

(

Линия нарушения голоморфизма ->-/

Рис. 157.

включающем jcr0), то имеется единственное решение уравнения (4.1), удовлетворяющее этим начальным условиям, или, иначе, через точку (^0, jcr0) проходит единственная интегральная кривая. Эта интегральная кривая продолжается во всяком случае до тех пор, пока jc не дойдет до того значения, при котором /(jc) неголоморфна. Если функция /(jc) аналитическая на всей прямой, то решение продолжаемо до тех пор, пока jc не уходит в бесконечность2). Если же jc не уходит в бесконечность, то решение продолжаемо от t = — OO до /=-}-оо.

Даже тогда, когда существуют точки нарушения голоморфизма, возможны случаи продолжаемости решения от t= — оодо^ = -(-оо. В этих случаях решение, например, протекает между двумя прямыми, параллельными оси t, ординаты которых являются точками нарушения голоморфизма для функции /(jc) (рис. 157).

') См. Дополнение I.

8) Заметим, что это может случиться в конечное время. Тогда решение продолжаемо (в указанном здесь смысле) вплоть до этого момента. В каче-

dx , . „

стве простого примера можно указать на уравнение -г- = 1 + Xі. 242

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

[ГЛІ IV

Резюмируя, можно сказать следующее. Вся плоскость /, at может быть разбита на полосы, границы которых представляют собой прямые, параллельные оси t, такие, что их ординаты являются точками нарушения голоморфизма функции /(аг). В каждой такой полосе через каждую точку проходит единственная интегральная кривая. Эти кривые аналитические и не пересекаются друг с другом внутри полосы.

Из сформулированной теоремы мы ничего не можем заключить о том, что происходит на границах этих полос. Там может быть как непрерывный переход интегральной кривой через границу, так и всевозможные случаи нарушения непрерывности.

Рассмотрим пример, имеющий физический интерес, когда условия теоремы Коши не выполнены. Именно, рассмотрим равноускоренное падение тела массы т с ускорением g в случае, когда начальная скорость равна нулю (рис. 158).

На основании закона сохранения энергии имеем:

mu3 . .

- = Mg(X-X0),

с положительным знаком (мы ограничиваемся рассмотрением движения в одном направлении), получим дифференциальное уравнение:

J = + VlgiX-X*)- (4.2)

Найдем решение этого уравнения, соответствующее начальным условиям t = t0; лг = лг0. Нетрудно видеть, что при этом значении х функция /(at) = \r2g(x — лт0) неголоморфна, так как производная /'(at) обращается в бесконечность при ат = ат0 и, следовательно, в этой точке не существует разложения в ряд Тейлора. Таким образом, на плоскости t, X вдоль прямой at = at0 условия теоремы Коши не соблюдены. Отсюда мы можем заключить, что в точках этой прямой возможны случаи неединственности решений, случаи несуществования и т. -д.

В рассматриваемом примере можно решить этот вопрос непосредственным интегрированием. Именно, уравнение (4.2) имеет при рассматриваемых начальных условиях решение:

x — x0 = ~g(t — t0)* (эаметим, что у этих парабол мы должны рассматривать только их
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed