Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим движение двух изображающих точек P1Jx = X1(^)I и P2 {X = X2 (^)начавших двигаться в один и тот же момент времени t = t0, и проследим их в течение некоторого конечного промежутка времени Т, в течение которого изображающая точка P1 не выходит из области аналитичности. Тогда теорема о непрерывной
') Мы даем теперь несколько иную формулировку этой теоремы по сравнению с даваемой в Дополнении I — формулировку, которая приспособлена к одномерному фазовому пространству. 246
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
зависимости от начальных условий гласит: каково бы ни было T и каково бы ни было е (е^>0), всегда можно найти такое 8 {8 (є, 7^^0}, чтобы
|*i (0 — *s(0l<8 Для Г,
если
I-VittO-Jfi (A.) I <8,
т. е. всегда можно выбрать начальные значения настолько мало отличающимися друг от друга, чтобы движения изображающих точек за данный промежуток времени T как угодно мало отличались друг от друга.
Перейдем теперь к исследованию траекторий на фазовой прямой в зависимости от вида функции /(Jf).
Предположим, что f(x) — функция, аналитическая на всей прямой Jf. Если уравнение /(х)==0 не имеет действительных корней, то все движения имеют одну и ту же траекторию, совпадающую со всей фазовой прямой. Если же f(x) имеет действительные корни Jf = Jf1, jf = Jf2, х = хг, ... , х=хк, то могут быть траектории различных типов:
а) состояния равновесия;
б) интервалы между двумя корнями;
в) интервалы между одним из корней и бесконечностью (полупрямые).
На каждой траектории Движение происходит в какую-нибудь определенную сторону, так как /(Jf) не меняет знака на траектории. Если/(л;)^>0, то изображающая точка движется вправо; если/(jf)<[0,
\ffXJ * Вспомогательная плоскость х, г
I I I I I I I і -— ---
Фазовая прямая
Рис. 161.
то изображающая точка движется влево; точки, где /(Jf) = O, как мы уже говорили, соответствуют состояниям равновесия. Зная вид кривой z=f(x) и пользуясь этими соображениями, можно разбить фазовую прямую на траектории и указать направление движения изо- § 4] УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ 247
бражающей точки по траекториям '). Пример такого построения приведен на рис. 161. Разбитая на траектории фазовая прямая дает наглядное отображение возможных движений рассматриваемой динамической системы, описываемой одним дифференциальным уравнением первого порядка. Очевидно, что основными элементами, которые полностью определяют характер движений на фазовой прямой, являются состояния равновесия. Зная состояния равновесия и их устойчивость, мы можем нарисовать себе качественную картину возможных движений. В частности, отсюда сразу видно, что в случае аналитичности /(л:) на всей прямой в системе невозможны периодические движения. Поведение интегральных кривых на плоскости t, х можно установить, если известен характер движений изображающей точки на фазовой прямой. Рассмотрим плоскость t, х, причем фазовую прямую совместим с осью х. Пусть изображающая точка двигается по фазовой прямой. Построим на плоскости t, х точку с абсциссой t и с ординатой, равной смещению изображающей точки по оси л: в данный момент t. Абсцисса этой точки есть время и поэтому меняется; ордината, вообще говоря, тоже меняется, так как изображающая точка
двигается. Следовательно, точка будет двигаться на плоскости t, х, описывая какую-то кривую. Эта кривая и будет интегральной кривой нашего уравнения (рис. 162).
§ 4. Устойчивость состояний равновесия
В свое время мы дали уже определение устойчивости состояния равновесия, следуя Ляпунову. Посмотрим, как выглядит это определение для рассматриваемого случая и каким образом возможно
1J Стрелками на фазовой прямой указывается направление движения изображающей точки. 248
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
аналитически распознавать устойчивость или неустойчивость состояний равновесия.
В нашем случае состояние равновесия х = х„ будет устойчиво по Ляпунову, если, задав сколь угодно малое положительное є, можно всегда найти такое 8, что
IX(t) — x01 <[S для ^0 sg t<[-f- со, если IXU0) — x01 <8.
Ляпунов дает аналитический рецепт исследования устойчивости состояний равновесия. Мы изложим сперва самый рецепт, а затем дадим его обоснование.
Пусть нас интересует устойчивость состояния равновесия х = х0. Так как мы подразумеваем при этом устойчивость по Ляпунову, то мы интересуемся малыми отклонениями от состояния равновесия. Положим X = X0-I-E; тогда E — отклонение от состояния равновесия. По нашему предположению /(х) — аналитическая функция. Переходя от переменной x к переменной E в уравнении
ё=/(*). (4-і)
получим:
g =/(•*« + Е) =/(х0) (х0) E + ^f (х0) E2 + ... или, так как /(х0) = 0, то уравнение (4.1) примет вид
I = 0^ + 0^ + 0^+...-, (4.3)
где
а,=/'(х0); аг = у/"(*о) и т. д.
Данный Ляпуновым рецепт исследования устойчивости сводится к следующему. Отбросим в уравнении (4.3) нелинейные члены. Мы получим тогда линейное уравнение:
g = atE, (4.4)
которое носит название линеаризованного уравнения или уравнения первого приближения. Интеграл этого уравнения находится сразу:
