Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
нас интересует вопрос, как изменяется характер движений в системе при изменении этого параметра Как мы уже говорили, основными элементами, которые полностью определяют характер движений на фазовой прямой, являются состояния равновесия.
Состояние равновесия рассматриваемой системы дается уравнением
Это уравнение определит на плоскости х некоторую кривую (рис. 166), выражающую зависимость координат состояний равновесия от параметра X.
По предыдущему, состояние равновесия х = х устойчиво, если
(4.7)
/{X, \) = 0.
(4.8)
fx(x, Х)<0,
(4.9)252
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
и неустойчиво, если
ГЛх, Х)>0.
(4.10)
X=X,
Л=Л„ Рис.
Мы видим, таким образом, что теория зависимости состояний равновесия динамической системы первого порядка от параметра
в точности копирует теорию зависимости состояний равновесия прос-t(x,A)=0 тейшей консервативной системы с одной степенью свободы от параметра. Совершенно так же, как и раньше, мы имеем здесь дело с бифуркационными значениями параметра, сменой
_— д устойчивости и т. д.
Мы не будем повторять уже 166. изложенную теорию бифуркации (см.
гл. II, § 5) и перейдем к рассмотрению нескольких физических систем, приводящему при соответствующих упрощающих предположениях относительно их свойств к динамическим системам (моделям) первого порядка.
1. Вольтова дуга в цепи с сопротивлением и самоиндукцией. К числу таких систем относится схема вольтовой дуги, включенной на батарею с э. д. с. E через сопротивление R и самоиндукцию L (рис. 167). Эта схема приводит к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, если мы будем учитывать только те элементы схемы, которые изображены на рис. 167, и пренебрежем всеми паразитными параметрами, которые имеются
в любой реальной схеме, считая, что скорости колебательных процессов в схеме малы по сравнению со скоростями установления ионных процессов, обусловливающих ток в вольтовой дуге. Нелинейность этого уравнения обусловлена тем, что дуга представляет собой проводник, не подчиняющийся закону Ома, т. е. тем, что сила тока, текущего через дугу, представляет собой нелинейную функцию напряжения на зажимах' дуги. Связь напряжения на зажимах дуги с силой тока, текущего через дугу, может Рис, 168. быть задана графически так называе-
мой статической характеристикой дуги I= ср (и)илигг = ф (г), где и — напряжение, а і — сила тока (рис. 168).
При сделанных предположениях из второго закона Кирхгофа получим для рассматриваемой схемы следующее дифференциальное
Рис. 167.§ 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
253
уравнение первого порядка:
L^t +Ri + *? W = E,
или
а=/(0= (<) . (4-й)
Состояния равновесия (і = Г) определяются условием /(/) = 0, т. е. уравнением
? —/?/ —ф(г) = 0." (4.12)
Чтобы найти корни этого уравнения, построим, как это обычно делают в электротехнике, на одной плоскости характеристику дуги м = ф (г) и так называемую «нагрузочную» прямую U = E — Ri; их точки пересечения дадут нам значения тока / в состояниях равновесия (рис. 169). Там же отложена и кривая и = Е — Rl — ф(г), которая в некотором масштабе изображает функцию/(/)> а зная /(г), можно сразу построить траектории на фазовой прямой (рис. 170)'). В рассматриваемом случае существуют три состояния равновесия: і = Ii, I = Ii, і = I3, из которых, как это вытекает из приведенных выше признаков устойчивости, первое и последнее устойчивы, а среднее неустойчиво.
Установим, как зависит характер движения в нашей динамической системе от параметров, например от E или R.
Пусть E будет переменный параметр. В согласии с общими правилами строим на плоскости Е, I кривую /(/, E) = 0 или
E-RI-^(I) = O
1) Поскольку за координату системы мы выбрали ток Ї, который одно-
di „ _ значно определяет и и , фазовой линией будет прямая І. Заметим, что прямая и не может служить фазовой линией, так как ток і не является однозначной функцией напряжения на дуге и и поэтому задание и еще не определяет однозначно состояния системы.254
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
(рис. 171). Эта кривая, как видно из чертежа, имеет две точки бифуркации и, следовательно, два бифуркационных значения параметра Е\ E = E1 и E=E3. Бифуркационное значение параметра E=E3 соответствует столь большому напряжению батареи (при заданном R), при котором состояния равновесия Z1 и I3 сливаются и исчезают, так
что при дальнейшем увеличении E остается только одно устойчивое состояние равновесия і =,/3, соответствующее значительному току. Бифуркационное значение параметра E = E1 соответствует столь малому напряжению батареи (при заданном R), что состояния равновесия I = I3 и i = I3 сливаются и исчезают, и мы имеем при дальнейшем уменьшении E лишь одно устойчивое состояние равновесия Z1, соответствующее незначительному току. Из этой диаграммы следует, что если мы будем медленно и непрерывно изменять Е, то в бифуркационных точках мы будем иметь скачкообразные переходы системы из одного состояния равновесия в другое. Сила тока в цепи дуги будет в соответствии с уравнением (4.11) увеличиваться от /е до Z1 (при E = E3) и падать от I1 до /„ (при E = E1). Картина зависимости стационарного тока / от на- I пряжения батареи E имеет гистерезис- I? ный характер (рис. 172). Аналогично можно построить бифуркационную картину при заданом E и изменяющемся R. и