Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^b точках s = и S=I этому неравенству удовлетворяют левый ds''
и правый пределы ^
Для доказательства этого утверждения заметим следующее. Согласно (10.80) для геометрического места концевых точек скачков (Arf, X*) (для кривой rj на рис. 584) имеем:
dxi _ k ^ ds 1 + аф' (Af) ^ '
т. е. Arf является монотонно возрастающей функцией s, и
-^=+«f(s-l)]^-
(знак равенства имеет место только для точек (Arf, ArJ), лежащих РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. tf
в области (II), т. е. только для s<C-r). Далее, полутраектории L
k,
выходят в область, расположенную над геометрическим местом точек (х^, X3) (над линией Гі) в области (III) и при выполнении ^ (1+0)(/?- 1) , .„. условия — і—1—-в области (II); полутраектории L в области (II), соответствующие — a^t ~ (такие полутраектории существуют только при о<[—1), выходят в область, расположенную под линией Г|, эту линию Г| более не пересекают и, следовательно, не выходят на полупрямую Га 1J.
^x2 + (^k — j X1J = о — — (о — X1),
*) В области (III) (вне малой окрестности оси ординат) изображающая точка двигается по траекториям, близким к прямым X2 + kxx = const, в сторону уменьшения X1; следовательно, полутраектории L в области (III) выходят в область, лежащую над линией ГЇ, поскольку на последней
dxt
—k С —^<0. dx\
Для исследования хода траекторий «медленных» движений в области (II) рассмотрим пересечение этих траекторий с семейством параллельных прямых:
X2 + {к — у j X1 = O = const, (А)
?2 I ? _ [ \
одной из которых (при а =----^-J является линия rj (в пределах области (II)). Так как в силу (10.79 6)
dt
то траектории «медленных» движений в области (II) пересекают прямые (Л) в направлении снизу вверх при о — х2--(а — X1) > 0, т. е, под прямой
X2 — о = (X1 — о), (В)
и в направлении сверху вниз — над этой прямой. При о — 1 прямая (В) лежит над областью (II), поэтому все траектории в области (II) (в частности, все полутраектории L) пересекают прямые (А) в направлении снизу вверх, приближаясь к полупрямой Г2. Так как в точках линии Г{
1 / Ч + 1Z +4 Ь2 , О +"И*" О O-X2--^-(O-X1) = O-X3 — — (о —XD = ^2S + -
согласно (10.80 а), то при о <с—1 в область, расположенную над линией Г'„ выходят только те полутраектории L (в области (II)), которые соответствуют
S > — ^ 0^y-— ; так как для точек (X1, х?) в области (II) 0 < s <С ,
k* Л- k_1
то такие полутраектории существуют только при--^-j— < о < — 1.
и „ , (1+°)(*—1)
Наоборот, полутраектории L, соответствующие s <С — -—¦——j-- , выхо- §' 13] СИММЕТРИЧНЫЙ МУЛЬТИВИБРАТОР
869
Обозначим через (Arf)1, (Arf)1 и (Arf)3, (Arf)2 координаты концевых точек скачков изображающей точки из рассматриваемых нами точек S1 и S2 полупрямой T1 и через L1 и L4i — положительные полутраектории «медленных» движений, начинающиеся соответственно в точках ((Arf)1, (Arf)1) и ((Arf)2, (Arf)2); полутраектория L1 приходит на полупрямую Г2 и, следовательно, выходит из точки (G*m)i> C*s)i) в область, расположенную над линией Г|. Так как s2>s!, то в силу сказанного выше (Arf)2 (Arf)1 и полутраектория L2 также будет выходить в область, лежащую над линией Г|, и будет идти справа от полутраектории Lu поскольку полутраектории L1 и L2 пересекаться не могут. Поэтому и полутраектория L2 выйдет на полупрямую Г2, причем координата ее точки выхода Таким образом, утверждение 2) доказано.
Отметим также следующее: при о^ — 1 все траектории «мед- Рис. 586.
ленных» движений в областях (II)
и (III) выходят на полупрямую Г2, поэтому все точки s>0 имеют последующие Sf, причем в силу доказанного утверждения 2) S10 = = П (0); если же о <^— 1, то последующие Sf имеют только те ТОЧКИ S, для которых s^>s0> гДе so — координата той точки полупрямой T1, которая преобразуется в точку s'=0 полупрямой Г2 (точкам s <^s0 соответствуют полутраектории L, не выходящие на полупрямую Г2 и асимптотически при t—--|-°о приближающиеся к устойчивому состоянию равновесия (о, о); см. рис. 586).
дят в область, расположенную под линией Г|, линию TJ более не пересекают и, следовательно, не выходят на полупрямую Г2. Для доказательства последнего утверждения допустим, что при a -=C — 1 некоторая полутраектория L, начинающаяся в точке (хxj) и соответствующая значению (l+a)(A— 1)
S-=C—-—1—-ф—.--,. пересекает линию Г; по крайней мере еще один
раз. Тогда в этой точке пересечения (xf, xj) (или в первой из точек пересечения, если их несколько) полутраектория L пересекала бы линию Г[ в направлении снизу вверх, что невозможно, так как при а с — 1 X1 -=C 0 в области (II) и xfcxf, т. е. точка (х^, х|) соответствовала бы значению . _ (l+a)(A— 1) '
S-=CS-=C—-—1—--- (напомним, что х{ является монотонно возрастающей функцией s).
28 Теория колебаний 870
разрывные колебания
[гл. X
3) Функция соответствия, конечно, зависит от параметров системы и, в частности, от приведенного (безразмерного) се і очного смещения о. Так как в области (//)
dxt___? і з — хг
dx і "!"о — X1
и в области (III)
dXi __ , (1 + а) (з — Xi) dx, ' з — (1 + ?) '
