Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
областей: (/), (11), (Па), (111) и (IlIa) (рис. 584), в каждой из которых уравнения «медленных» движений являются линейными. Эти уравнения в области (/): Af1 —1, Af2 —1, где обе лампы мультивибратора заперты, очевидно, записываются в виде:
в области (II): —1 Af1^O, Xi —1, где лампа JIi заперта, а лампа JIi отперта (но в ней нет сеточных токов), в виде:
и, наконец, в области (III): Af1^O, Jf2 —1, где лампа JIi по-прежнему заперта, а в лампе Jli имеются и анодный и сеточный токи, — в виде:
Так как переменные Jf1 и Af2 входят в уравнения колебаний мультивибратора симметрично (это, очевидно, является следствием симметрии его схемы), то разбиение области «медленных» движений M на
(10.79а)
(10.796)
(10.79B) §' 13]
СИММЕТРИЧНЫЙ МУЛЬТИВИБРАТОР
863
траектории уравнений (10.75) будет симметричным относительно биссектрисы X1 = X2, которая всегда является интегральной кривой этих уравнений; в частности, уравнения «медленных» изменений состояния мультивибратора в областях (IIa) и (IIIa), где заперта лампа Jli и отперта лампа JIi, получаются из уравнений (10.796) и (10.79в) заменой переменных X1, X2 на х2, X1.
В области (I) интегральными кривыми являются прямые
X2 '
X1 — 3
= const, которые (или продолжения которых при —1) проходят через точку (о, з). Эта область содержит состояние равновесия (о, о) при о — 1.
В области (II) изоклиной горизонтальных касательных является прямая х2 — з— A (X1 — о) = 0, продолжение которой проходит также через точку (з, о) и которая пересекает полупрямую Г2 (на отрезке
— 1 s^ X1 =? 0) только при о sg; 1 ; слева от этой изоклины X2 О
(т. е. траектории удаляются от полупрямой Г2), справа от нее X2 О
(траектории приближаются к Г2); в частности, при о:>= ^ все
траектории в области (II) не выходят на полупрямую Г2, а переходят в область (III). Далее, в области (II) при — 1 о 0 имеется прямолинейная фазовая траектория X1 = O (на ней X2 ^>0). В области (III)
dx-2_ ? j 1+® Xi — а
dx, > 1 + 9
Xl~T+J
и приближенно равно —k вне малой окрестности оси ординат (X1 = O) в силу неравенств (10.78). Поэтому все траектории в области (III) вне этой окрестности близки к прямым:
X2 -j- Ax1 = const,
причем скорости изменения переменных X1 и X2 при движении изображающей точки по этим траекториям имеют порядок величины
1 i r
I ^ д ^ 1» т- е- здесь мы имеем дело с сравнительно быстрыми движениями изображающей точки; эти движения мы будем условно называть «полубыстрыми» *). Кроме того, при O^=O в области (III) имеется
Для того чтобы «полубыстрые» движения изображающей точки в области (III) принадлежали к классу «медленных» движений, надо, очевидно, полагать, что
!±!<1
«Полубыстрые» движения изображающей точки соответствуют процессам сравнительно быстрого ^за время порядка CRg j заряда конденсатора С,
находящегося в цепи сетки лампы JIi, в которой текут сеточные токи, значительно превышающие токи через сопротивление Rg. 864
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
прямолинейная фазовая траектория «медленного» движения
X1 =J-^--= X0 ^ О
(на ней х2^>0 и является величиной порядка единицы).
Разбиение области «медленных» движений M на траектории в трех возможных, качественно различных случаях: —1, —
Bj о*0 Рис. 585.
при —1 все траектории «медленных» движений выходят (при возрастании /) на границу Г области «медленных» движений — на полупрямые T1 и Г2, а при о — 1, когда в области (/) имеется устойчивое состояние равновесия (о, о), часть траекторий «медленных» движений идет к этому состоянию равновесия, а остальные траектории выходят на полупрямые T1 и Г2. Поэтому в области §' 13] СИММЕТРИЧНЫЙ МУЛЬТИВИБРАТОР
865
«медленных» движений нет замкнутых фазовых траекторий и автоколебания в мультивибраторе, если они существуют, обязательно являются разрывными, т. е. состоят из чередующихся «медленных» и «быстрых», скачкообразных изменений состояния мультивибратора 1J.
Соответствующие им траектории (построенные на плоскости Jc1, х2) будут пересекать полупрямые T1 и Г2. Поэтому рассмотрение колебаний мультивибратора сводится к построению точечных преобразований полупрямых T1 и Г2 самих в себя или друг в друга, осуществляемых траекториями системы, и к исследованию этих преобразований.
Введем на полупрямых T1 и 1\ координату s— расстояние точек этих полупрямых до точки (—1, —1): s=l+X2 на полупрямой T1 и s= !+X1 на полупрямой Г2, причем s^>0, и рассмотрим движение изображающей точки, начинающееся для определенности в точке с координатой s полупрямой T1, т. е. в точке (—1, s—1). Из этой начальной точки изображающая точка «перепрыгнет» (по соответствующей траектории «быстрого» движения) в точку (xj", xj), координаты которой однозначно определяются условиями скачка (10.76). Нетрудно видеть, что точки областей (/), (IIa) и (IIIa) не могут являться концевыми точками скачка изображающей точки с полупрямой T11. В самом деле, предположив, ЧТО X1 =?—1, мы получим из
(10.76), ЧТО X1=- 1 И X2=S—1, т. е. получим концевую точку
скачка совпадающей с начальной, что невозможно, так как концевая точка скачка может лежать только внутри области «медленных» движений, а не на ее границе. Поэтому концевая точка скачка может лежать только в областях (II) и (III) (т. е. —1, —1)
