Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
O + ^-to+a+,)^ при к><і + ~>
ds j _oe-t 1 ^ ,
при T<s<l,
. fta + (1 + a) е* у k
dz ^
ds
то при — 1 т<(0 и монотонному изменению T от О до т? 874 разрывны?. колебания [гл. x
, I 1 1 п
соответствует монотонное уменьшение S от 1 I j в до . Далее,
в силу первого из условий (10.78)
°<а?<1<1 "Р" іс^1-
Таким образом, точечное преобразование ГІ при —1^о<^0 не может иметь неподвижных точек s* на интервале h_і
1 s < 1 у-р-^, гак гак на этом интервале Sf 1, и может иметь единственную и устойчивую неподвижную точку на интервале 4 (единственность и устойчивость неподвижной точки, если
Рис. 588.
она существует, следует из неравенства доказанного
выше для всех і <.Ї< 1). Значение параметра преобразования
х = х* для этой неподвижной точки определяется согласно (10.856) уравнением
A-f Ьх* -}- ос'" —(1 -f а)е" = 0 (10.87)
и дает нам величину полупериода разрывных автоколебаний (в единицах безразмерного времени), если пренебрегать длительностью «быстрых» и «нолубыстрых» движений.
Условие существования неподвижной точки s* на интервале
— очевидно, может быть записано в виде ^
или, используя (10.81), в виде
O^a1 = Oi(A), (10.88) §' 13]
СИММЕТРИЧНЫЙ МУЛЬТИВИБРАтОР
875
где о,—бифуркационное значение параметра о, определяемое уравнением
совместно со вторым из уравнения (10.86), выражающим х, через о и k. 'Гак как xa 0, то при k 1 о, 0; кроме того, о, = — 1 при k = kx = 2,219 ... '). График функции о, = 3|(?), построенный на основании численного решения указанных уравнений ирииедчі на рис. 588 s). Так как при ... а, — 1, го непо-
движная точка s* на интервале существует при всех — если k А,.
в) Точечное преобразование П при 0<CS<C ^ м 3 3=— 1- При
концевая точка (лг^, лгГ) скачка изображающей гоччи из
точки S полупрямой Г, лежит согласно (10.80а) уже внутри области (II). Интегрируя дифференциальные уравнения (10.791), нетрудно получить следующее уравнение траектории L «медленных» движений, начинающейся в точке (лг,", лг„") при /=0 и проходящей в области (II):
хх=а \-(х\Xi = O \-\k(x"1—rs)t-\-x'l— (10.S9)
Эта траектория при а Э=— 1 или выходит на гр.иицу об час гей (II) и (III) и переходит затем в область (III) (это може г бьпь только
при о^>0 и заведомо имеет место при а ь ' ^. тогда координата
последующей точки Sf=I), или же выходит на полупрямую Г.2,
') к, является единственным корнем уравнения fre = 1.
8) Численное решение уравнения ^ = 1 + Ml — е tO и второю из сравнений (10.86) (1 + O1) = 1 —+ + + удобно вести следующим
образом. Подставим первое уравнение во втрое и pajpemuM eiu относительно O1:
Гої да могпе подстановки снова в первое уравнение получим*
- 1 4- е-\) — k (Ti + 1 — е 4- е-, - е-': =0. (В)
Задавая различные значения т2 > 0, но іакне, чюад дискриминант квадратною уравнения (В) был положительным (для этою т, до.іжно у дон іє і вонять нераненству 0 <С ts <С 0,8'2 .. .), мы найдем из уравнении (В) для каждого значенню два значения k и затем из уравнения (А) соответствующие им іні-чения а,. Заметим, что при тг — -)-0 один m корней k ккаїратного уравнент ill) стремится к 1, другой — к -f оо, а іоотиеісівующі.е значения а,— к — а и к — оо. 876 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. X
оставаясь все время в пределах области (//) (в этом случае абсцисса х\ точки выхода L на Г2 заключена в интервале между х+ и о).
Пусть при некотором t = т 0 изображающая точка, двигаясь по траектории L (в пределах области (II)), приходит на полупрямую Г2. Тогда координата s' последующей точки преобразования П (s' = at! — 1) определится уравнениями:
Sf — 1 = a -j- (ks — 1 — о) е-\ — 1 = о + [A (As — 1 — с) т — (А2 — 1) S — 1 — о]
(здесь мы использовали соотношения (10.80а), выражающие координаты концевой точки скачка через координату 5 начальной точки
скачка на Полупрямой T1 при
При о = —1 второе уравнение (10.89а) определяет для всех
траекторий L одно и то же время пробега т, . именно т=1—
тогда согласно первому уравнению (10.89а) функция соответствия
^для 0 S будет линейной:
s'=Ske v k'\ (10.90)
ее графиком является отрезок прямой с угловым коэффициентом -0-1)
ke & , начинающийся в начале координат. Очевидно, при k A1,
-0-1,)
где A1 = 2,2... — единственный корень уравнения ke k' = 1, этот отрезок расположен над биссектрисой s' = s и при k<^kx— под ней *).
При о —1 график функции соответствия s' = II(s) для идет в силу (10.81) всюду над прямой (10.90), т. е. s'=
-0-1) 1 = II(s)^>sAe v поэтому при изменении S ОТ 0 ДО -J S1 MOHO-
ds' і
тонно возрастает (так как от некоторого значения So =
= II (0) 0 до значения П е к'\ Разрешая уравнения
(10.89а) относительно s и Sf, мы получим функцию соответствия
') Отсюда в силу (10.81) еще раз следует, что при — 1 < а < 0 и ft^fti (s') і — и, следовательно, преобразование П имеет неподвижную точку
1 <«•<!.
(10.89а) § 131 симметричный мультивибратор
877
в следующей параметрической форме:
1 + kx — е*
5 = (1+0)
kH — (k*— 1)'
