Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 318

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 312 313 314 315 316 317 < 318 > 319 320 321 322 323 324 .. 335 >> Следующая


то, дифференцируя эти соотношения по о, получим: в области (II)

— \dXi I = — х' ~Хг п

да ydX11 (з — X1)2 ^ '

в области (III)

- = — M J- пЛ С + ?) X, — х8 да dx.

Ч— <-1 I „л С +?) X1 -X8

-J--O+a) |3_(l+3)Xi]2<0,

т. е. в обеих областях при увеличении о происходит поворот по часовой стрелке векторного поля направлений касательных к траекториям «медленных» движений системы; в области (III)

в силу условий (10.78), поэтому поворотом векторного поля направлений касательных к траекториям в эгоЯ области мы будем в дальнейшем пренебрегать. Так как, кроме того, координаты концевых точек скачков х," и х* от о не зависят, то мы, очевидно, можем утверждать, что при увеличении о точки выхода на полупрямую Г.2 положительных нэ іутраекторий L, соответствующих любым заданным (фиксированным) значениям s, сдвигаются вправо. Следовательно,

^>0; (10.81)

очевидно, я» 0 для тех значений s, которым соответствуют поіу-

граектории L, лежащие целиком в области (III)'). Таким образом, при уменьшении о график функции соответствия / = IT(S) на диаграмме Ламерея (на плоскости s, Sr) или не изменяется, или же хотя бы частично смещается вниз.

Перейдем теперь к вычислению и более детальному исследованию функции соответствия s'= П(s) точечного преобразования П. В связи с тем, что уравнения скачка (10.80), а также дифференциальные уравнения «медленных» движений являотся кусочно-линейными, нам придется разбить интервал изменения s: 0<^s<^-j-oo

') Для этих значений s ~ является малой величиной порядка 1 "t" ° и да 1 + ?

з § 13] симметричный мультивибратор 871

при O^:—1 и So<Cs<C"H°° ПРИ 0<С—1 на интервалы, в каждом из которых указанные уравнения линейны, и затем на каждом из них провести вычисление функции соответствия.

а) Точечное преобразование П для s ^ 1 * ~ ^. При достаточно больших S изображающая точка после скачка в точку (xf, xf) попадает на одну из траекторий «полубыстрых» движений в области (///):

ха 4" ^xl = а = const — 1

и по ней приходит на полупрямую Г9 в точке с абсциссой х] = — 1 +а - 0. Так как

k

a = xf + = +a)(s — 1)-k согласно (10.80), то этот случай имеет место только при

A-I_k 4-а

1

1 +а 1 +а

и координата последующей точки преобразования П s' = 1 -(- х! =

? = 1. (10.82)

+" і і -?- + I или

Отметим, ЧТО точке 5=1 -j- YTfTS соответствует последующая Sf=I

и что при 5^> 1 Ts = ' ^fe "^ ^ согласно первому из нера-

венств (10.78)'). Поэтому s'<^s и точечное преобразование П не

k_і

может иметь неподвижной точки с координатой s* ^ 1 ^ -.

1 It_і

б) Точечное преобразование П для =? s 1 + JTjTi 11 0^ —

1 It_і

При 5 1 і д концевая точка скачка (xf, xf) также лежит в области (III), но теперь изображающая точка по соответствующей траектории «полубыстрого» движения:

X9 -J- = а = х* + Ьх[ <^ — 1

1) Выражения для s и , приведенные выше, являются, конечно, при-

• +а

блмженными; они отличаются от точных на малые величины порядка "[TjTji и

Г+Т

28« 872 разрывные колебания [гл. x

или попадает в малую окрестность фазовой траектории «медленного» движения

о

X1 = X0 = j О

при о :? 0 и выходит на полупрямую Ts в точке с абсциссой х| «s г^х0«=;0, или же при а<^ 0 выходит на границу областей (III) и (II) в точке (0, а) и затем переходит в область (II).

Таким образом, при о ^ О координата последующей точки

Sf=I1); (10.83)

следовательно, при о^О точка s* = l будет являться неподвижной точкой преобразования П и притом устойчивой.

Рассмотрим теперь случай —Интегрируя дифференциальные уравнения (10.796), нетрудно получить следующие уравнения траектории, лежащей в области (II) и начинающейся (при ^ = 0) в точке (0, а):

Xj = o(l— е~'), )

X2 = о — (о a + kat) е~К ) (1°'84)

Изображающая точка, двигаясь по этой траектории, выйдет при некотором t = X 0 на полупрямую Г2. Для этого момента времени имеем:

Sf- 1=о(1 — е~т), — 1 = о — (о — a + k<3\)e~x.

Так как

(1 -(- a) (s— 1) — k призмі, s—1—k при і-«с s =^1,

то, разрешая полученные уравнения относительно s и получим следующие уравнения (в параметрической форме) для функции соответствия преобразования II:

при 1 s <М

' 1+а

х і fe + a + feax-(l + c)g*

' 1+° ' \ (10.85а)

s'=i+о(1 — 0;

ds'

') Точнее, s' = l + g(s) и ^=g'(s), где g(s) и g' (s) — малые величины 1+a а

порядка J-P1H- §' 13] симметричный мультивибратор 873

при |

S=I Jr k-{-a Jr kai — (1+0)е\ ]

Sf=I+ 0(1-О; J (10-85б)

заметим, что уравнения (10.856) получаются из (10.85а), если заменить в последних а на 0. Точке s = 1 \ соответствует значение т = 0 и s'= 1, точке s=l— значение T = T1, точке S = ^-—

Рис. 587.

значение т = т2, где T1 и т2 —значения параметра т, определяемые однозначно уравнениями:

(1 + о) = A + о + Aot1, ]

1 [ (10.86) (1+о)^=1-|+А + о + Аот2 J

(графическое решение этих уравнений приведено на рис. 587; очевидно, что T2^t1). Так как

ds\ -1+, "Ри 1<®<1+ТчГІ' "¦

dZ 1 Ao-(l + o)e^ при у<5<1, ds'

^- = ое~т<^0, поскольку о<^0,
Предыдущая << 1 .. 312 313 314 315 316 317 < 318 > 319 320 321 322 323 324 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed