Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
,/—п і ,^-(*1 + *- 1)(1-0 s-(1 + 0)-k^ — ik*— l)-
(10.91)
при условии, конечно, ЧТО S ^ 1.
Если же для тех или иных значений s в интервале О
второе соотношение (10.91) дает значения /^>1, то это, очевидно, означает, что рассматриваемые траектории L не выходят на отрезок полупрямой Г.2, лежащий в пределах области (II), а переходят в область (III); следовательно, для этих значений s функция соответствия не будет выражаться соотношениями (10.91). Это может быть
только при о^>0 и заведомо имеет место для всех при
о когда все траектории в области (II) переходят в об-
ласть (III) '). Поэтому траектории L, соответствующие таким значениям s, начинаясь в точках (xf, xf) области (II), переходят в область (III) — в малую окрестность траектории X1 = X0 = -j-qj? ^ О,
где и выходят на полупрямую Г4—в точках с абсциссами х| ^?? ^ 0, т. е. для таких значений s координата последующей точки
/=1. (10.91а)
Рассмотрим кратко функцию соответствия (10.91). Очевидно, точке S = -^- соответствует значение т = т2, определяемое вторым из уравнений (10.86), а точке S = O — значение т = т3^>0, определяемое однозначно (при ?^>1) уравнением
Далее, нетрудно показать, что значениям s в интервале О соответствуют значения параметра т в интервале
') Согласно первому из уравнений (10.89а) s' с 1 для всех 0<s<-i,
если а с 0. Наоборот, при а ;> О траектория Lu соответствующая S =-^-,переходит в область (III), поэтому в силу непрерывной зависимости траекторий L от начальных условий в область (III) будут переходить и траектории L,
близкие KL1H соответствующие значениям S^S с j, близким к , т. е.,
при а >- 0 всегда существуют такие значения s в интервале 0<s<|-, для которых функция соответствия не выражается соотношениями (10.91).878
р\чрчвнык колрбмтия
|гл. X
Яля доказательства последнею утверждения введем вспомога тельную функцию
4- kl — Pt
Ч' >т1
/JiT-(As-I)'
со знаком которой совпадает (при з >.— 1) знак s. Знаменатель этой функции k*x — (k1 — 1) мені nie нулн при т < т4 и болі ше нули при т > т4, где
I4 = I- ^5; при T = T1 знаменатель функции Ч* обращается в нуль, а сама
функция— в бесконечность. Числитель функции 1K, 1 + kx — <?т, равен нулю при т = 0, больше нуля при О С т < т, (т:, было введено выше), обращается снова в нуль при т = та и меньше нуля при т >. т.,. Гак как при т = т4 числитель функции Ч1": 1 kx, — = 1 -(--1<.
+ т, (1 — X,) '" — е\ О, поскольку
О < Ч < 1, k = (I -т,Г /: И при всех
0< T < 1 т (1 — т)~ 5 >. <?т —^ 1, то ¦Ч < т,. Этих сведений достаточно дли качественного построения графика функции Чг (очевидно, при О С т с T4 Ч < 0, при т4 < т <та >Г" О и при т>тя Ч'<С 0, причем при т—. -t-ос Ч-" — — ODi. Этт график приведен на рис.589 Очевидно, что т4 с Ts < "Ч, так как т, удовлетворяет уравнению
Рис. 589.
Ч (т,) = -
¦ 0. Таким образом, значениям s в интервале О
k (1 -(-з)" ' ............... - " ........^ к
соответствуют значении параметра т в интервале т, >. т >. т,, причем на этом
ds d s' ds'
интервале . < 0, а следовательно и — <0 (так как — >• О), в силу чею
от ds
при моноюнном увеличении параметра т от т8 до т, s монотонно убывает от до 0, a s' — от -S1K
к
> е "до s' = (s'L . > 0.
T S3 ,,
Если точечное преобразование H имеет неподвижную точку S* на интервале то параметр преобразования -t = т*
(хч х* та) для нее определится из условия s = s'- 1 или согласно (10.91) из уравнения
ё1 f- k (A — 1) T -(Ay 4-А — 1)(1 —О— 1 = 0. (10.92) Нетрудно показать, что это уравнение имеет единственный положительный корень X* (тогда если корень т* удовлетворяет неравенствам Ts X* т;„ то преобразование П имеет единственную
неподвижную точку S* на интервале Рассмотрим с
а той целы вспомогательную функцию
ф (Xi = ех -J- А (А — 1) X — (A1 -f А — 1) (1 — е с).§ 131 симметричный мультивибратор
879
Для нее
Ф' (т) = е- Y k(k — 1) — (Aa-f k— \)е~\ Ф'(т) = еМ- (k*-\-k— 1)?ГТ>0, ?(0) = 0, ф'(0) = — 2(? — 1)<0,
Ф (~|- оо) = -(- оо, Ф' (-(- оо) = -(- оо.
Поэтому график функции Ф (т) имеет вид, изображенный на рис. 590: функция Ф(т)<^0 при достаточно малых положительных т и имеет единственный минимум Фтп<0 (при некотором т=т'^>0, определяемом уравнением Ф'(т) = 0); при т^>т' функция Ф (т) является монотонно возрастающей и изменяется при возрастании т от Фтіп<0 при т = т'до -4-оо при т — со; следовательно, график функции Ф(т)пересекает ось т (при т^>т') и притом только один раз. Таким образом, уравнение Ф (т) = О имеет единственный положительный корень т*, а точечное преобразование П может иметь
на интервале не более одной неподвижной точки.
Так как при ?, = 2,2... прямая (10.9Э) лежит над биссектрисой s' = то график функции соответствия v'=ll(s) при и —1 будет лежать также над этой биссектрисой, т.е.
для всех будет справедливо неравенство s'= П (s) s.
Следовательно, в этом случае на интервале нет непо-
движных точек преобразования П.
При о — 1, но k (когда а, (А) — 1) возможны два случая. 1) Если а^>а,(?), то, как было показано выше (см. (10.88)),