Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
X1 + a* (xt) + Ц (Jtf) = Xf + (AT) + Aep (xi), \
( (10.7b)
+ ^ (хІ) + A? (xt) = xi + (X2) J- A9 (хГ). J
Для обоснования сказанного относительно области применимости уравнений (10.75) и скачков состояния мультивибратора (без привлечения дополна тельных физических соображений) необходимо учесть хотя бы некоторые из малых паразитных параметров схемы, существенных во время «быстрых» движений системы. Такими паразитными параметрами являются малые паразитные емкости Ca и Cg, изображенные на рис. 582 пунктиром. Учитывая эти емкости, получим (при Ca, Cg < С) уравнения колебаний мультивибратора в следующем
') Некоторым_ обоснованием введенного постулата скачка могут служить следующие соображения. Если X1 > — 1 и X3 > — 1 (т. е. обе лампы мультивибратора отперты) и если коэффициент усиления k настолько велик, что 4 (A1, A2) < 0, то, как можно подсчитать, общий коэффициент передачи на высоких частотах в цепочке элементов, составляющих мультивибратор (сетка лампы Jl1 — /?С-цепь между анодом лампы Jl1 и сеткой лампы Jli — лампа JIi — вторая /?С-цепь — сетка лампы Jl1), будет больше единицы. Вследствие наличия в схеме такой положительной обратной связи любое «быстрое», скачкообразное отклонение сеточного напряжения (например, U1) приведет к «лавинообразному», нарастающему изменению сеточных напряжений, которое будет продолжаться все время, пока отперты обе лампы. Поэтому при 4 (A1, а») <С 0 в схеме возможны только «быстрые» скачкообразные изменения состояния мультивибратора.
Наоборот, при A1 < — 1 или при лг» <— 1, когда по крайней мере одна из ламп заперта, а 4 (A1, A2) > 0, цепь положительной обратной связи разорвана, скачкообразные изменения сеточных напряжений будут затухающими, что делает «медленные» движения устойчивыми по отношению к скачкам сеточных напряжений и, следовательно, возможными. § 13] симметричный мультивибратор 859
виде:
(10.77)
^X1 = — у, — X1 — a'l (Xi) — k'-f (Xi) = F1 (х„ Xs, у,), [XXi = —у2—Хг — ab (X2) — k-f (X1) = F2 (X1, Xi, У2), у, =X1 +РФ (A1) -a = G (X1), Уг = X2 + ?'l* (As) — а = G (As)1
Ra
R С I С
где (л = -rj—п—pg, п - а п—^ — малый положительный параметр, характери-U ~Г "a!Rg) ^
зующий малость паразитных емкостей Ca и Cg (по сравнению с емкостями С). Соответственно фазовым пространством будет четырехмерное пространство A1, Xt, уU Уг-Так как
и
^ = [1 + «-У (Jf.)] [1 + «Ь' (Jf.)] - (X1) tf' (A2) = Д (Jfll A2),
то согласно § 3 настоящей главы «медленные» движения системы (т. е. движе-
CC \
ния с ограниченными і, и as при ~ , — + 0 I будут происходить только
в малой О ((л)-окрестности поверхности F+, определяемой уравнениями: F1 (A1, X2, >>0 = 0, F1 (х„ A2, у3) = 0, Д (A,, Xi) > 0,
а в пределе, при ц —<¦ + 0, на самой поверхности F+, вследствие чего приближенные уравнения «медленных» движений совпадают с уравнениями (10.75), полученными при пренебрежении всеми паразитными параметрами схемы. Заметим, что поверхность F+ проектируется на гомеоморфную ей область M координатной ПЛОСКОСТИ A1, Xi.
Вне поверхности F+ имеют место «быстрые» движения изображающей точки по траекториям _уь у2 = const (при ц — + 0 X1, A2 — оо, а у, и остаются ограниченными), т. е. там происходят скачки сеточных напряжений U1 и и2 при постоянных напряжениях V1 и V2 на конденсаторах С. Приближенные (для O-CfJi 1) дифференциальные уравнения «быстрых» движений системы по траекториям, лежащим вблизи плоскости у1=у"1, .Vs=^s Cv1I >>2 = const), получаются из первых двух уравнений (10.77) заменой в них >>!,>>8 на постоянные >>?, v5:
Iixt =—уЧ — X1- аф (A1) — fccp (A2) = F1 (X1, Xi, >•?), ILXi — Xi- а-і (A2) — Iff I
kf (Xi) = F1 (X1, Xi, >•?), 1 Iri(X1) = F2 (Ab Jf2, >>2); J
(10.77a)
конечно, эти уравнения отображают динамику «быстрых» изменений состояния мультивибратора только вне малой (например, вне О (J/V)) окрестности поверхности F:
Ft (X1, х2, у,) = 0, F2(XltX2Jyi) = O,
частью которой является поверхность F+.
^ «ч dFi , dF2 -
Отметим следующее: 1) так как .--(- ч—= < 0 при всех значениях Ar1, A2,
OX1 OXi
то уравнения (10.77а) в силу критерия Бендиксона не имеют замкнутых фазовых траекторий; 2) точки пересечения плоскости yt =уЧ, у2 =У2 с поверхностью F+ являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений (10.77а) и 3) нет траекторий «быстрых» движений, уходящих в бес- 860
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
конечность. Поэтому все траектории «быстрых» движений идут (при Ca, Cg —* 0) в малую О (и-)-окрестность поверхности F+, где переходят в траектории «медленных» движений. В свою очередь траектории «медленных» движений на поверхности F+, выходящие на ее границу — на линию у, на которой Д (X1, Xi) изменяет знак с положительного на отрицательный и которая проектируется на плоскость Xu X2 в виде линии Г, переходят в траектории «быстрых» движений (скачков). Концевые точки таких траекторий скачков изображающей точки (с границы у области «медленных» движений) лежат снова на поверх-нэсти F+ и удовлетворяют поэтому условиям скачка (10.76). Заметим, что концевая точка скачка определяется условиями скачка (10.76) по заданной начальной точке скачка однозначно, в силу чего использование дифференциальных уравнений скачка (10.77а) для определения концевой точки скачка, как и в задаче о колебаниях мультивибратора без сеточных токов, не является обязательным.
