Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для иллюстрации сказанного на рис. 593 изображена плоскость параметров, разбитая на области, каждая из которых соответствует определенному режиму работы мультивибратора. Границами этих
1) По-видимому, впервые существование жесткого режима установления разрывных автоколебаний в мультивибраторе было показано в работе В. В. Вит-кевича [43].
2) Скорость изменения параметра а должна быть настолько малой, чтобы в каждый момент времени режим работы мультивибратора мало отличался от стационарных режимов при соответствующем постоянном значении о, т. е. чтобы изображающая точка оставалась вблизи устойчивого состояния равновесия или устойчивого разрывного предельного цикла, несмотря на изменение параметра о. 886
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Областей являются линии A=I, а = — 1 и а = а, (А) (при а — 1) '). Разбиение полосы на области различных режимов
работы мультивибратора на рис. 593 не дается, так как этот случай мы не рассматривали.
5. Автоколебания мультивибратора при Eg^O. Вычислим период разрывных автоколебаний мультивибратора и построим осциллограммы напряжений для случая Eg^O, наиболее интересного с точки зрения практических приложений (по-прежнему будем считать выпол-
Рис. Г 93.
ненными условия (10.78)). Как мы видели, при Eg^ 0 (при а^О) единственное состояние равновесия мультивибратора
неустойчиво и все траектории приближаются (при t—«-(-со) к единственному и устойчивому разрывному предельному циклу, соответствующему единственной и устойчивой неподвижной точке 5*^1 точечного преобразования II. Проекции этого предельного цикла на плоскости jf,, Jfi и yt, JZj изображены (качественно) на рис. 594. Этот предельный цикл состоит из траекторий «быстрых» движений AlAi и /4|/4j (эти траектории проектируются на плоскость у,, yt в точки, так как во вр^мя «быстрого» движения изображающей точки у1г =5» const), из кусков траекторий «пэлуоыстрых» движений AiAi и AiAi, которые пробегаются изображающей точкой за
интервалы времени порядка ~J~ ° 1 (в единицах безразмерного
__._ 1 "Г P
') При k < 1, как уже указывалось, разрывных колебаний нет и при любых начальных условиях устанавливается устойчивое состояние равновесия. симметричный мультивибратор
887
времени), и из кусков трагктолиЧ «медленных» движения AtAl и A1tAl').
Так как при a ^0 коооди.іага неподвижной точки преобразо-
/ ' II— _ ч
вания П s*=l с точностью до членов порядка
1+Э
то
Л,
'J
пеуст. состояние равновесия
4
-У,
А',
S)
траектория «быстрого» движения A1A1 начитается в точке А\ с координатами 2):
лг!" = —1, Xj =S* — 1 =0, у/' = — (k — 1), у'г11 = 0;
тогда координаты концевой точки Ai этой траектории определятся по лг^1', xs" условиями скачка (10.80):
Xi2'=-
— k-
yf = ~(k- 1), ^ai = O.
Для «быстрого» движения изображающей точки по траектории A1A1 имеем: Ji1=Ji11" = — (к— 1), Jis=J^11-O) югда согласно (10.77а) эта траектория вместе с другими траекториями «быстрых» движений, происходящих при тех же постоянных значениях Ji1 и Ji2, определяется приближенно (но тем точнее, чем меньше |а, т. е. чем меньше паразитные емкости Ca, Cg по сравнению с емкостью С) уравнениями:
^1 = k — 1 — X1 — Oli (X1) — k-f (Xi), j IIX2 = — X2 — ail (X2) — kf (X1) I
вне малой окрестности состояний равновесия этих уравнений, где имеют место «быстрые» движения (X1, -Va-^co при (1-^ + 0), или дифференциальным уравнением интегральных кривых
dx2__— X8 — a'b (X2) — fetp (X1)
dx.
к — 1 — X1 — a-l (X1) — к-f (х2) •
(10.94а)
1J Сливающиеся проекции траекторий «медленных» и «полубыстрых» движений на плоскости Jl1, Jl2 для наглядности несколько смещены друг относительно друга.
2) Здесь и ниже ДЛЯ вычисления переменных JI1, Jl2 по время «медленных» и «полубыстрых» движений (в частности, длн точек A1, At и A1 предельного цикла) использованы первые два уравнения (10.75). 888
разрыьгше колебания
[гл. X
Разбиение плоскости X1, X2 на траектории приближенных уравнений (10.94) приведено на рис. 595. Эти уравнения имеют два состояния равновесия A1 и A2: точка A1 (— 1, 0) — начальная точка скачка — является неустойчивой сложной
/ k_і k + а \
особой точкой типа седло—узел, точка A2 -г—г—, —^ Т~Ь— — устойчивым
1
узлом, К которому идут все траектории «быстрых» движений (при у і ~ — (к — 1)
и у2 = 0). Из единственная
точки A1 (точнее, из фазовая траектория
сколь угодно малой ее окрестности) выходит — сепаратриса этой особой точки, о та сепаратриса согласно § 3 настоящей главы и будет траекторией «быстрого» движения A1A2, являющейся частью разрывного предельного цикла.
Внутри квадрата (IV) (см. рис. 595) — 1 X1 S=T sg 0, — 1 ^ X2 ^ 0 уравнение интегральных кривых «быстрых» движений (уравнение (10.94а)) записывается в виде:
dx2 dxt
x2 + k(Xl + \) X1 + 1 + кх2
поэтому сепаратрисой, выходящей из точки A1, будет (в пределах области (IV)) отрезок прямой
X2 '¦
-(X1+ 1)').
Далее сепаратриса в точке (0, — 1) переходит в область (III): X1 0, X2 =?: — 1, где она будет определяться дифференциальным уравнением интегральных кривых для этой области:
