Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, предположим, что правые части заданной системы зависят от некоторого параметра р., т. е. система имеет вид:
-??- = Pk (Z, X1,..., х„, ,а) (А= 1,2 ,...,п). (Д.4)
Пусть эта система рассматривается при некотором частном значении [j. = (A1), т. е. рассматривается система
*?- = P„(t, X1,..., х„, Ре) (А=1, 2,..., п), (Д.5)
и наряду с ней система (Д.4) рассматривается при каком-нибудь не равном значении р.. Мы можем считать в этом случае, что система (Д.4) при р. -ф р.„ является измененной системой по отношению к системе (Д.5), и можем считать, что система (Д.4) имеет вид:
-^Г = рьУ> xV-, хп> Ii0) + Pk (<> • • •. хп),
где
Pk (Z, X1, ... , Х„) = Pk (1', X1, Xn, |а) — Pk (Z, X1, ... , Xn, (A0).
Теорема V (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начального значения). Пусть
X, = срk{t, Z0, X01,..., х») (A = 1, 2.....п)
— решение системы (Д.1), определенное при всех значениях Z
С С» Ci<f,<>«).
и пусть T1 и т2 — какие-нибудь числа, удовлетворяющие неравенству Z1 т, Z0 т2 Zs. Тогда при любом существует 8^>0
такое, что при условии:
Ipk(t, X1,..., XJK8 (*=1. 2,...,п)
в области R и
1*1-*! K8 с = !.*.....л) 896
дополнение iii
решение системы (Д.З), соответствующее начальным значениям ^0,
¦ > Хп>
Xk = <?k >••'•.•*„).
определено при всех значениях t, tx sg t tit и при всех этих значениях t выполняются неравенства
I % V> 'о> х]' • • ¦' xI) — cPfc it,t9, х° ,..., х° ) I < е (?=1,2.....и).
Следствие. Если правые части рассматриваемой системы (Д.4) — непрерывные функции параметра [j., то и в решении этой системы
xk = <?k(t, t0, X01,.:., х%, [J.)
функции Cpfc (t, Х°, . . . , X0n, (J.) — непрерывные функции
Предположим, что функции pk (t, x1, x3.....Xn) и pk (t, x1.....xj -f-
-\~Рк (t, X1.....хл) имеют непрерывные частные производные по переменным X1, X5.....хп. Тогда в силу теоремы 111 в решении системы
(Д.1) и в решении системы (Д.З) функции срk(t, ta, X0 . . . , X0n) и
* /і J. 0 0 ч 0 0 П.
<?k(t, r0, X1.....Xn) имеют частные производные ПО X1 , X2 , ... , X0.
d4{t,t0,x\.....х°п) Vm..*,0.....4)
дх°
дх)
Пусть решение системы (Д.1) определено при значениях t: t\<^t<^tit и пУсть ti и T2 — какие-нибудь числа, удовлетворяющие неравенствам tx Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема VI.
Для всякого е^>0 существует 8^>0 такое, что если в области r
dPk (t, Xi,..., хп) дхі
<8.
Ipk{t, X1,..., xj|<8,
(k=\, 2,..., и; /=1, 2,..., и), то решение системы (Д.З)
x = f(t,t0,x\.....X*)
определено при всех значениях t в интервале T1 sgc^-значениях t выполняются неравенства
дч (t, t0, X0,..., х°п) v (t, to, xj,..., x*);
I je?
¦xi\<1
дх°
дхT
; та и при этих
<е.
Если правые части рассматриваемой динамической системы (Д.4) ДОПОЛНЕНИЕ it 897
г, ,1 ч (dPb)t, X1, ..., Xn, U
Pk (Z, Xi, ... , Xn, (j.) И производные -і— 1^x— —непрерыв-
ные функции [J. И Xk = Cpft (Z, jf°, . . . , jf", JJ.) — решение эюй системы, то производные
дп (t, X0i.....Jffx)
дх°ь
R
тоже ЯВЛЯЮТСЯ непрерывными функциями Рассмотрим еще случай, когда у системы
Рк (?, • • • I хп,
правые части являются аналитическими функциями всех аргументов. Для такой системы справедлива следующая теорема.
Теорема VII.
Если функции Pk (t, Jf1,..., jfn, Jj,) — аналитические функции своих аргументов, то и функции
Xk= <? k (?, h> X01,..., X0n, |J.)
также являются аналитическими функциями всех своих аргументов в окрестности всякой системы значений Z, Z0, Jf", ..., X0n, для которой они определены.
Следствие. Пусть для значений Z0 , jc:* ,..., х* , [/ решение
Xk = Vkit, Z0, Jf* ,..., Jf* , )
определено для всех Z в интервале Z1<^Z<^Z9 и пусть T1 и т2— какие-либо значения, такие, что Z1 T1 т2 Z2. Тогда функции
Хк = <?к{І, К, X0.....Jf° , (J.)
могут быть разложены в ряд по степеням (jf? —х*) (i=\, 2,..., п), сходящийся для всех Z и [j,, удовлетворяющих неравенствам
T1^Z==ST2, —р*|<8 (Д.6)
и при всех
\х)-х)\<К,
где A0—некоторая постоянная, не зависящая от выбора значений t и [а, удовлетворяющих неравенствам (Д. 6). При этом коэффициенты этих рядов являются аналитическими функциями jj, при всех ja в интервале
In—ц* I <8. 898
дополнение iii
ДОПОЛНЕНИЕ Il
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАЗБИЕНИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА НА ТРАЕКТОРИИ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
Изучение колебательных процессов в тех или иных системах путем рассмотрения разбиения соответствующего фазового пространства на траектории является не только теоретическим (математическим), но и экспериментальным методом. Применяя электронный осциллограф, можно наблюдать не только форму колебаний, но и движение изображающей точки по фазовой плоскости х, у. Для этого нужно на одну пару отклоняющих пластин трубки осциллографа подать (непосредственно или через соответствующий усилитель) напряжение, пропорциональное переменной X (например, напряжение на конденсаторе колебательного контура лампового генератора), а на другую пгру пластин — напряжение, пропорциональное переменной у (пропорциональное, например, силе тока в колебательном контуре). Тогда положение светящейся точки на экране осциллографа будет в точности соответствовать положению изображающей точки на фазовой плоскости. Если состояние системы будет изменяться, то соответствующим образом будет изменяться и положение светящейся точки на экране, светящаяся точка будет вычерчивать на экране фазовую траекторию (точнее, положительную полу траекторию,), соответствующую данному начальному состоянию. Эту траекторию можно сфотографировать или наблюдать визуально, если трубка осциллографа имеет длительное послесвечение экрана.
