Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 321

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 315 316 317 318 319 320 < 321 > 322 323 324 325 326 327 .. 335 >> Следующая


I м . 59Э.

(A = T2 > T = (S)т = T2 ИЛИ, иначе

или S = у]; тот же знак разность St

говоря, s' — s^>0 при T = Tji S имеет и при T = T3 (при s = 0). Поэтому разность s' — s, являющаяся непрерывной функцией St или не обращается в нуль на интервале 0 , или же обращается

в нуль на этом интервале четное число раз. Последнее, как мы только что доказали, невозможно. Следовательно, и в этом случае преобразование II не имеет неподвижных точек па интервале 880

РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ

[гл. X

2) При — 1<^<з<^а,(А) (Sf)T = T2^y. т- е- разность Sf — s<^0 при s = y (при т = т2); при s = 0 (при т = т3) эта разность по-прежнему положительна. Поэтому на интервале разность

Sf — S обращается в нуль, т. е. существует неподвижная точка s* преобразования П и притом единственная, как было доказано выше. Эта неподвижная точка в силу ее единственности будет обязательно устойчивой. В самом деле, если бы неподвижная точка s* была

ds'

неустойчивой, то при s = s* имело бы место неравенство 1

или (Sf— s)^>0. Тогда разность Sf-s была бы положительной

величиной при значениях s S*, но близких к s* (при s* S =? s* -(- є, где є — некоторое достаточно малое положительное число), и, следовательно, обращалась бы в нуль по крайней мере еще раз на

интервале s* -(- є <^s , т. е. точечное преобразование П имело бы

на интервале 0<^s<^ еще одну неподвижную точку (кроме S*),

что невозможно.

г) Точечное преобразование П при <з<^ — 1. При —1 в области (/) существует устойчивое состояние равновесия (<з, о), к которому идет часть траекторий «медленных» движений (см. рис. 585, а и 586). Поэтому теперь существует такое S0 ^>0, которое является точной нижней границей значений s для точек, имеющих последующие, т. е. точечное преобразование П существует только при s^>s0 (см. также стр. 869). Конечно, эта нижняя граница интервала существования преобразования П заведомо меньше 1 ^,

___ . A: — 1 ,

так как точки 1 ~г j а имеют последующие s, определяемые

функцией (10.82) при любых о и, в частности, при —1.

Далее, при выводе выражений (10.85а), (10.856) и (10.91) для функции соответствия преобразования П мы нигде не пользовались условием —1 (это условие использовалось только при их анализе). Поэтому указанные выражения остаются справедливыми в соответствующих интервалах изменения s и при о — 1 (но, конечно, только в пределах интервала существования преобразования П— только при S S0).

Отметим, наконец, что в силу (10.81) при —1 и всех

S0S 1 -f- \ і 1 имеет место неравенство

Sf = П (S) < (Sf)3

(10.93) § 131 симметричный мультивибратор

881

где

1

ske ^ при

оа—1 = при

л , « 1+« \ . ,

,-V+T--') при

* 1 1 + а

— функция соответствия для о =—1 Из неравенства (10.93) следует, ЧТО s' < S при а — 1, k<^kj = 2,2. .. и всех поскольку при (Sf)ct = -I^S, т. е. преобразование Il в этом случае не имеет неподвижных точек. Оно может иметь неподвижные точки только при k^>kx. При этом, поскольку s'<l при 0<^—1 h_1

и всех ,S0 S 1 -)- j-qrS" (см< неравенство (10.93)), неподвижные

точки S* могут лежать только на интервале s0<^s<^l, вследствие чего значения параметра т = т* для этих точек будут определяться

уравнением (10.87), если и уравнением (10.92), если

Последнее уравнение, как было доказано выше (см. доказательство на стр. 879, справедливое и при о<^—1), не может иметь более одного положительного корня т*, следовательно, если

на интервале s0<^s<^ имеется неподвижная точка s* преобразования П, то только одна (само собой разумеется, что для существования такой неподвижной точки необходимо, чтобы s0<^~

Итак, пусть о— 1 и k^>ki = 2,2... Так как при s = s0 разность Sf — S = — S0 < 0, то преобразование П имеет неподвижную

точку И притом одну, если при S = разность

s'-s = (A==t2-|>0, т. е. если (см. (10.88))

о > O1(A)

(напомним, что O1(A)^—1 при kj>k{). В этой неподвижной точке s=s* разность Sf — s изменяет свой знак с отрицательного (при s<^s*)

1) Явные выражения для функции соответствия при а = — 1 и

1 _ rl, A-I

k =SO==I-T- 1+а

получаются из (10.85а) и (10.856): при а = — 1 s' = е~х, a х оказывается кусочно-линейной функцией s. 882 разрывные колебания [гл. x

на положительный (при s^>s*), значит npHs = s* — s)^>0

или ^ 1, т. е. единственная (на интервале т-) непо-

движная точка s* преобразования П, существующая при A A1 и а, (А) —1, является неустойчивой.

Если же а O1 (А), то при y Sr— s = (s')- = -.,—О,

поэтому разность Sr — S в силу ее непрерывности или не обращается

в нуль на интервале , или же обращается в нуль на этом

интервале четное число раз. Так как последнее невозможно, то, следовательно, преобразование ГІ не имеет неподвижных точек на

интервале s0 s ~ и при а а, (А).

Рассмотрим теперь функцию соответствия на интервале

Так как s'^0 на всем интервале существования преобразования ГІ (при всех ?0), то согласно (10.855) имеем:

s'=l-fa(l-eT)>0, т.е. IiV^

и

(не следует забывать, что мы рассматриваем случай а—1 и А^> A1 = 2,2... 2). Таким образом, для всех s, удовлетворяющих
Предыдущая << 1 .. 315 316 317 318 319 320 < 321 > 322 323 324 325 326 327 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed