Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
-**=?*(') (*=!. 2,..., п),
определенная на этом интервале, для которой удовлетворяются следующие условия:
а) ?ЙОЧ>) = -4;
б) при всех t(ti<^t K^ti) точка M [t, ^i(V),..., ?„(?)] принадлежит области R;
в) tPft (0 = Pk [t, ®i (0. • • •, ?п (01 при всех ti < t < tb т. е. система функций удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (Д.1); _
г) какую бы замкнутую область Rh целиком лежащую в области Rt мы ни взяли, найдутся значения f и Г и I1 дополнение it
893
такие, что точки M1 [Z', Cp1 (Z'),..., <ря (Zf)] и Mi [/', ср, (/'),..., ср„ (/')] лежат вне Ri.
Можно показать, что интервал ti<^t<^ti значений Z, фигурирующий в теореме I, в силу условия г) является «максимально возможным интервалом определения решения» в следующем смысле: не существует интервала (/ , /*) значений Z, содержащего интервал (Z1, Z2.), на котором были бы определены функции xft=cp*(Z), удовлетворяющие условиям а), б) и в) настоящей теоремы, и, следовательно, совпадающие на интервале (Z1, Z2) с функциями xft = cpft (Z).
Условие г), которое характеризует тот факт, что интервал (Z1, Z2) является максимально возможным, часто выражают также следующими словами: «решение системы может быть продолжено до границы области R».
В настоящей книге под решением системы вида (Д.1) всегда подразумевается решение, определенное на максимально возможном промежутке значений Z. При этом,в настоящей книге решение обычно бывает определено при всех значениях Z, т. е. при значениях t в интервале — оо Z оо.
В пространстве t, X1, х2,..., х„ функции Xft = Cpft(Z) определяют интегральную кривую. В силу теоремы I через каждую точку M (Z0, х°, х°п) области R проходит одна и только одна интегральная кривая.
Для того чтобы в явной форме отметить тот факт, что решение зависит от начальных значений Z0, х°,..., х°„, его записывают также в виде:
xft = cpft(Z, Z0, х?,..., х°). (Д.2)
По самому смыслу этой записи мы, очевидно, имеем:
<РА('О> 'О. Х°, ..., X0n) = X0k.
Если Z0, X01,..., X0n рассматриваются как произвольные параметры (но, очевидно, такие, что точка M(tu, X01,..., х°п) принадлежит области R), то систему функций (Д.2) называют общим решением. Если Z0, х\,..., X0n фиксированы, то систему функций (Д.2) называют частным решением или просто решением (так что «решение» и частное решение имеют один и тот же смысл). Для него имеет место следующая теорема.
Теорема H (о непрерывной зависимости от начальных значений).
Пусть
¦**=?*('.'*. х], К>•••>•<)
— какое-нибудь решение системы (Д.1), определенное при всех значениях ti<^t<^ti, и пусть X1 и х2 — любые числа, принадлежащие этому интервалу, причем X1^x2. Тогда при любом е^>0 можно 894
дополнение iii
указать такое о^>9, 8=3 (г, X1, т2), чю для всех ..., х\,
для которых
к —0'= 1, 2,..., п),
решение
xk = 'fk(t, и, х"п)
определено при всех значениях X1^/^xs и при всех этих значениях t выполняются неравенства:
!?*('.<.....*«)-?*('. '*> *;):<*¦
Теорема Ш.
Если функции Рг(/, х,,..., х„) в правых частях системы^ (Д.1) имеют непрерывныг частные производные по переменным X1, Xi,... ..., хп, то функции
Xk = Vkit' tO' -С •••• jO (*=!> 2,..., п) имеют непрерывные частные производные по переменным X1J,..., JcV). Эти частные производные вместе с самими функциями удовлетворяют системе дифференциальных уравнений следующего вида:
^f- = Pkit. ?>..••> ?Д
A I I д<р„
dt дх. д?! дху г '-' ~г дГл dxf
г= I, 2,..., п\ k=\, 2,..., п.
В случае, когда правые части системы (Д.1) — аналитические функции своих переменных, справедлива Следующая теорема.
T е о р е м а [V.
Если функции Pk(t, xt,..., хп)— аналитические функции переменных X,, X2...... хп, то функции
¦** = ?*('•>. ¦*?)
являются аналитическими функциями своих аргументов в окрестности всякой системы значений, для которой они определены.
Теоремы I—[V, в частности, используются при рассмотрении функции последования. Именно, принимая во внимание метод построения функции последовапия, нетрудно видеть в случае, когда правые части динамической системы — аналитические функции,, что в силу теоремы IV функция последования тоже является аналитической функцией. В случае, когда правые части имеют непрерывные производные по x и у, из теорем [, [[ и Ш следует, что функция
') Когда правые части системы (Д.1) имеют непрерывные частные производные IlO переменным Xi до порядка то решение этой системы имеет непрерывные частные производные по х'1 также до порядка k. Однако случай, когда k> 1, не используется в настоящей кнже. дополнение } 895
последования непрерывна и имеет непрерывную производную (см. § 7 гл. V).
Предположим, что наряду с системой (Д.1)
dXb : Pk (Z, X1,..., хп) (A=l, 2,. .., п)
dt
рассматриваемся «измененная» система
=Pk(t, X1.....xn)+pk(t, хх,..., хп) (А= 1,2.....«), (Д.З)
где pk (Z, X1,..., хп) — функции, определенные в той же области R, что и функции Pk, непрерывные в этой области и имеющие непрерывные частные производные по переменным X1, X2, ... , Xn.
