Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
iB = iK (") = {
SgU
здесь и — сеточное напряжение, — U0 — напряжение запирания ламп, S и Sg — величины крутизны восходящих участков характеристик анодного и сеточного токов ламп.
Эти функции (их графики приведены на рис. 583) удовлетворительно отображают .свойства современных ламп, практически не имеющих насыщения ни по анодному, ни по сеточному токам.
') Анодной реакцией в лампах можно пренебречь, если лампы, примененные в мультивибраторе, суть пентоды или триоды с достаточно большим внутренним сопротивлением Ri и если напряжения на анодах ламп во время колебаний остаются достаточно большими. Последнее заведомо выполняется при небольших Сопротивлениях Ra и достаточно большом напряжении анодного питания /:'„. 856
разрывны?. колебания
[гл. x
1. Уравнения колебаний. Скачки напряжений U1 и Ui. Пренебрегая паразитными параметрами, мы получим (на основании законов Кирхгофа и в обозначениях рис. 582) следующие уравнения «медленных», нескачкообразных изменений состояния мультивибратора1):
rdy_i С dt' : (U1 +W1)
Rq
- L («2) + с
dvi dt' '
pdv 2_U2 —
d'f — R
Ep
ig ("2).
Eq- (M8 + P3)
Ra
Є
:U«1 ) + C
g
d%H dt'
Введем, как и в предыдущем параграфе, новые, безразмерные переменные Ar1, Ar1, уі, _у2, связанные с напряжениями U1, Ui, V1, Vi соотношениями:
Uli-H0AT1
и новое, безразмерное время
t =
^1,2 = Ea + ^ Eg + и0 (1 + ^jylfi,
f
С (Rq +Rg)
В этих переменных уравнения «медленных» изменений состояния мультивибратора запишутся в следующей безразмерной форме:
где
—Уі = + а • ^ (*i) + k? (-Xi), — У і = Xi -f- а ¦ ^ (ат2) + Acp (AT1), J1 = AT1 + ^ .^(X1)-G, J2 = AT2+ ? ¦ (AT2)- а,
Z1 — _SRqRs
RqjT Rg'
а _ JSgRqRg Rq + Rg'
? = SgRg,
приведенное (безразмерное) сеточное смещение
а =
"о
(10.75)
') Во время «медленных» изменений состояния мультивибратора малые паразитные параметры не играют существенной роли и ими можно пренебречь. Далее, мы обозначаем время через f, так как ниже через t будет обозначено безразмерное время. §' 13]
симметричный мультивибратор
857
и
1 f 0 ^)=^(^)=( °
— приведенные (безразмерные) характеристики анодного и сеточного токов ламп. Первые два уравнения устанавливают функциональную связь между X11 X2 и ух, _у2 (т. е. между сеточными напряжениями Hi, Ui и напряжениями Vi на конденсаторах С), которая, подчеркнем еще раз, имеет место только во время «медленных» изменений состояния мультивибратора; два последних являются дифференциальными и дают закон изменения состояния мультивибратора во времени.
Исключая из уравнений (10.75) переменные уь уг, получим еле*-дующую систему дифференциальных уравнений для переменных X1, Xi:
[1 + а<1/ (Xi)] X1 ArAfr(Xi) Xi + Xi + P-I(Jf1) = O1 j
или, разрешая относительно производных,
• _ pl (X), X2) . _P2 (Xi, X2)
Д (Х], х2) ' Д (хь х2) '
где
p1 (X1, х.2) = ы (X2) [х2 + ц (X2) — о] —
— [1 + а</(X2)] [х, + Ц (X1) P2 (Xi, X2) = Acp' (Xi) [Xi + ?'} (Xi) — о] —
- [1 + а./ (X,)] [х2 + РФ (X2) - о], Д (Xi, х2) = [ 1 + а<]/ (X,)] [1 + wy (X2)] - AV (X1) ср' (х2).
Поскольку полученная система дифференциальных уравнений является системой второго порядка, мы можем отображать состояния мультивибратора (во время их «медленных» изменений) точками на плоскости Xi, х2, а «медленные» процессы в мультивибраторе — движением изображающей точки по фазовым траекториям (по траекториям уравнений (10.756)) на этой плоскости. Однако, как и в задаче о мультивибраторе без сеточных токов (см. предыдущий параграф), «медленные» изменения состояния мультивибратора с сеточными токами, отображаемые уравнениями (10.75), возможны не при всех значениях переменных X1, Xi. Именно, областью «медленных» движений системы (областью применимости уравнений (10.75)) является только та часть плоскости X1, X2 — область М, в которой
Д (хь х2) = [ 1 + аф' (X1)] [ 1 + о+ (X2)] - A2CpXx1) • с?' (л,) > 0;
при х<[— 1,
при X — 1,
при х<[0,
при х^=0
(10.756) 858 разрывные колебания [гл. x
вне этой области M возможны только «быстрые», скачкообразные изменения состояния мультивибратора — «мгновенные скачки» сеточных напряжений U1, Hs (или переменных X1, xs)').
Границей области «медленных» движений M является линия Г, на которой функция Д (х1; xs)—знаменатель правых частей уравнений (10.756) — изменяет знак; поэтому точки части линии Г являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.756). Если изображающая точка, двигаясь по траектории «медленного» движения (по траектории уравнений (10.756) в области М), выходит на линию Г в некоторой точке (xj~, xs), то дальше она «быстрым» движением (мгновенным скачком) «перепрыгивает» в точку (х^", xj), принадлежащую также области М. Так как напряжения V1 и V2 на конденсаторах, а следовательно и значения переменных J1 и js, во время мгновенного скачка измениться не могут (иначе в мультивибраторе были бы бесконечно большие токи) и так как и начальная и концевая точки скачка принадлежат области М, то согласно первым двум уравнениям (10.75), справедливым в этой области, координаты начальной и концевой точек скачка (xf, xs" и X1, х2) связаны между собой следующими уравнениями {условиями скачка):
