Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(0 = ^[1+т(0]-ф(0 § 11] б локинг-генератор 845
(Ф(0>0 внутри области (IIla)); тогда корень f уравнения
Ф(0 = 0,
очевидно, даст длительность импульсов анодного тока, генерируемых блокинг-генератором (в единицах безразмерного времени области (III)), а координатами точки выхода предельного цикла на полупрямую Г2 будут:
X2 = Cp (Г), = ').
Соответственно длительность импульсов в единицах обычного времени будет равна:
Из точки (х2, у2) изображающая точка совершает мгновенный скачок (по отрезку траектории «быстрого» движения х-\~У = Constj в точку (х*, у*) предельного цикла, определяемую соотношениями (10.67) и лежащую в области (/), и затем идет в области (I) по траектории «медленного» движения (10.646), начинающейся (пусть при t = 0) в точке (х*, у*2)3):
X ^ _ [а — (ха +Уъ)\е -°1< 4- (А —УІ) е~',
') Если уравнение Ф(<)=0 имеет несколько корней (что может быть только при (1 — Os)2 < 4?2), то под f следует понимать наименьший положительный корень этого уравнения.
2) Если же предельный цикл переходит в область (Ill) и лишь затем выходит на полупрямую Г2, то в этом случае, интегрируя уравнения колебаний блокинг-генератора в областях (Illa) и (III) и используя очевидное условие непрерывности траекторий при переходе через границу этих областей, следует найти уравнение дуги предельного цикла, лежащей в областях (Illa) и (III):
x = <ti (tCT), 3- = +1 (tCT),
и составить функцию
Фі Cct) = "^ [1 +?.(<ст)1-М<ст)-Тогда корень уравнения
Ф(<ст) = 0
будет являться длительностью импульса т (в единицах обычного времени), а координатами точки (л:», у2) будут:
*s = tPi (*), уі = 'її (і).
*) Полагая, что при < = 0 х = х" и _у=.у*,мы получим из (10.646):
Ві + В\=л:* и А —B1 =у*,
поскольку Ьх 1, или
01 = **+.У*-И=-[И-(*,+*)] и B\=A-yt 846 разрывны?. колебания [гл. x
Пусть tt — момент выхода на полупрямую Tj изображающей точки, двигающейся в области (/) по этой дуге предельного цикла; tt, очевидно, определяется уравнением X = —1 или, поскольку C1 1 и < е~аік,
Таким образом, длительность интервалов времени, в течение которых лампа блокинг-генератора заперта, равна:
In [Л— (*9+J/,)]
"і
в единицах безразмерного времени области (/), или Tl = ^tl = CR-In [Д —
в единицах обычного времени.
Так как обычно длительность импульса т 7\, то период автоколебаний блокинг-генератора
T= Ti +т я« Ti.
§ 12. Симметричный мультивибратор
Рассмотрим автоколебания симметричного мультивибратора (рис. 578), предложенного Абрагамом и Блохом и являющегося одним из часто применяемых генераторов разрывных колебаний напряжения [131, 6, 61].
I. Уравнения колебаний. Для этой схемы, пренебрегая сеточными токами, анодной реакцией и всеми паразитными параметрами, в том числе и паразитными емкостями, и считая схему симметричной (т. е.
считая одинаковыми характеристики ламп JIx и JIi, а также величины соответствующих емкостей и сопротивлений схемы), получим (в обозначениях рис. 578) следующие уравнения колебаний:
Ea — (»1 + Vl)_; I U1 -Ee
р -1O 2 M 5 >
Ka Kg
Ea- («s+»s)_. U2-Eg
р — lal 5 >
Ka Kg
dvt _ U1-Eg
dt Я* '
dv2 U2 — Ep
С_=_—
C dt Rg
где анодные токи ламп Ial и іаі—функции соответственно U1 и щ:
iOl = 'a ("l). la<2 = Ia ("a)- § 12]
симметричный мультивибратор
847
Схема, очевидно, имеет единственное состояние равновесия, в котором Ul = Ut = Eg, iai ='Iai=Ia(Eg) и V1=Vi = V0 = Ea-Ra-Ia(Eg)-Eg.
Введем для упрощения выкладок безразмерные переменные ar1, аг,2, jz11 у%, связанные с напряжениями U1, Ui, vu Vi соотношениями:
, = E.
е I
U0-Xlti
= ®о + ( 1 + -Sl) «о\Уі,2>
где U0 — некоторый масштаб напряжений (ar1, Xi, уи у% пропорциональны переменным составляющим напряжений на сетках ламп и на конденсаторах С), безразмерное время
С (Ra + Re)
и безразмерную характеристику ламп tP М = ITS' & + Щ'Х) — 'а
рЮ.рР)
где 5—крутизна характеристики ламп в рабочей точке (т. е. при U = Eg). Ниже для большей определенности мы будем считать характеристику ламп, а также сеточное смещение Eg такими, что безразмерная крутизна характеристики <р' (аг) является четной непрерывной функцией аг, которая монотонно убывает, стремясь к нулю, при возрастании |xj; очевидно, Osgtp'(x)sgl (рис. 579).
В новых безразмерных переменных уравнения колебаний мультивибратора запишутся в следующей форме:
Рис. 579.
где
-У 1 = X1 + a© (Xi), —Уі = Xi-Jkf (at1), У і = X1, уг = хъ,
U_ SRaRg
(10.68)
Ra -f- Rg
— -параметр схемы, являющийся коэффициентом усиления (на высоких частотах) усилителя, собранного из элементов одной из половин схемы. Исключая уг и уг, мы получим два дифференциальных уравнения первого порядка для ar1 и Xi:
x1 -j- k<f' (Xi) Xi + x1 = 0,
xa ky' (x1) x1 -j- ха = 0
(10.68а) 848
разрывны?. колебания
[гл. x
или, разрешая относительно лг, и х2,
+ _ Xi — k<f'' (X2) X2 \
1 W4'(X1)41 (X1)-I xa — k<t' (x1) X1
V (10.686)
Xi
^Y(X1)tP1(X2)-I ' J
Таким образом, рассматриваемый мультивибратор является системой второго порядка (при пренебрежении всеми паразитными параметрами) и его состояния мы можем изображать точками на плоскости X1, х2. Применяя критерий Бендиксона к уравнению интегральных кривых
