Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
AV(X1)C^(X2)-1<0, (10.72)
и седло, если
A2 ср' (xt1) cpr (jc3) — 1 > 0 >). (10.72а)
') Характеристическое уравнение для точки (хи х2, у\, у8) поверхности F, для особой точки приближенных уравнений «быстрых» движений (10.71), имеет вид (см. также (10.18) в § 3 настоящей главы):
SF1 , OF,
дхл дхг
dF2 dFs
Oxl дх..
- 0
или
У — 2Х + 1 — <р1' (x1) (x2) = 0. §' 13]
симметричный мультивибратор
851
Следовательно, все фазовые траектории «быстрых» движений (они лежат при [X —> —О В ПЛОСКОСТЯХ У\,Уц = const) идут из бесконечности и от точек (X1, AT2, JZ1, JZ2) поверхности F, в которых
в малые окрестности точек той части поверхности F, на которой
эту часть поверхности F, к точкам которой идут все фазовые траектории «быстрых» движений, мы будем обозначать ниже через F+.
Таким образом, при достаточно малых [х фазовые траектории «медленных» движений изображающей точки (с ограниченными при jx —>- —|— О фазовыми скоростями) лежат только в малой окрестности (с размерами порядка (х) поверхности F+:
В пределе, при |х —>¦ -J- 0, эти траектории «медленных» движений лежат на самой поверхности 'F+, и их дифференциальные уравнения получаются из уравнений поверхности F+ и последних двух уравнений (10.70), т. е. совпадают с уравнениями (10.68), полученными ранее при пренебрежении паразитными параметрами схемы.
Границей области «медленных» движений (области F+) является замкнутая линия f на поверхности F, определяемая уравнением
при этом, в силу сделанных выше предположений относительно характеристик ламп, областью F+ является та часть поверхности F, которая лежит вне кривой у. Так как в области «медленных» движений (на поверхности F+) нет ни состояний равновесия, ни замкнутых фазовых траекторий и траектории «медленных» движений не уходят в бесконечно удаленные части поверхности F+ (см. уравнения (10.68)), то изображающая точка, двигаясь по траекториям «медленных» движений на поверхности F+, обязательно придет на ее границу 7, после чего она совершит «быстрое» движение (скачок) по соответствующей траектории Jz1, JZs = Const и придет снова на поверхность F+. Координаты концевой точки скачка Ar1=Arf, Ar2 = ArJ, очевидно, связаны с координатами начальной точки скачка Ar1 = Arf, X2 = X2 уравнениями':
A3V (X1)cp' (X2) -1>0,
As ср' (X1)Cp' (X2) -1<0;
-JZ1 = X1 -J- A ср (X2), -JZ2 = X2 + A ср (X1), ^cp'(x,)cp'(xs)-l<0.
AV (X1)Cp-(X2)-I=O;
+ ky (х^) = XI + Acp (X2), X 2 + k<? (X4D = Xi + Acp (хт),
(10.74)
так как во время скачка Jz1 и jzs (т. е. напряжения B1 и B2 на конденсаторах С) не изменяются, а начальные и концевые точки скачков лежат на поверхности F+. 852
разрывные колебания
В рассматриваемой задаче условия скачка (10.74) для каждой точки (ATpAr2) кривой f дают единственную концевую точку скачка (аг;, ат2), и поэтому использование дифференциальных уравнений скачков (10.71) для определения концевых точек скачков не является необходимым. Однако исследование этих уравнений дает возможность найти сами траектории «быстрых» движений (приближенно для достаточно малых значений параметра jj,), найти соотношения между переменными at1 и ат2 во время скачков. Начальная точка скачка, лежащая на кривой у, является для приближенных уравнений (10.71) особой точкой типа седло-узел и из нее выходит единственная траектория
уравнений (10.71), которая и является интересующей нас траекторией «быстрого» движения (скачка).
3. Разрывные колебания мультивибратора. Таким образом, при 1 рассматриваемый мультивибратор будет совершать разрывные колебания, состоящие из чередующихся друг с другом «медленных» (с конечными скоростями изменения сеточных напряжений //,, н2) и «быстрых», скачкообразных
, dui du2
(с „^оо.—^оопри
Ca, Cg —>¦ —|— 0) изменений состояния мультивибратора. Пользуясь гомеоморфностью координатной ПЛОСКОСТИ AT1, AT2 и ПОверХНОСТИ F, ПЛОСКОСТИ AT1, AT2 и плоскостей J1, J2 = Const, мы можем рассмотреть эти разрывные колебания путем изучения разбиения ПЛОСКОСТИ AT1, AT2, т. е. плоскости сеточных напряжений h1, н2, на траектории «медленных» и «быстрых» движений (на траектории уравнений (10.68) и (10.71)); заметим, что траектории на координатной плоскости AT1, Ar2 являются проекциями фазовых траекторий в четырехмерном фазовом пространстве Ar1, ат2, yv J2 и поэтому могут пересекаться между собой.
Это разбиение на траектории плоскости Ar1, Ar2 качественно изображено на рис. 580. Так как кривая у — граница поверхности F+ проектируется на плоскость Ar1, Ar2 в виде кривой Г (см. (10.69)}, то областью «медленных» движений (проекцией поверхности F+) будет та часть плоскости Ar1, аг2, которая лежит вне замкнутой кривой Г; в области, лежащей внутри кривой Г, никаких «медленных» движений быть не может, там имеют место только «быстрые», скачкообразные движения изображающей точки. Изображающая точка, двигаясь по траектории уравнений (10.68)
"80. §' 13] симметричный мультивибратор
853
в области «медленных» движений, обязательно придет на границу этой области — на кривую Г, откуда по траектории «быстрого» движения (по соответствующей траектории уравнений (10.71)) «перепрыгнет» снова в область «медленных» движений. Геометрическое место концевых точек скачков (xt, х~§), соответствующих согласно (10.74) начальным точкам скачков — точкам (х^", Х2) кривой Г, изображено на рис. 580 в виде кривой Г' (эта кривая Г' является при сделанных выше упрощающих предположениях также замкнутой и непрерывной кривой, симметричной относительно биссектрис плоскости X1, X2 и охватывающей кривую Г).
