Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
CRyi-\-R-\-y = 0 (10.12а)
имеет единственный корень
? _ R + 'У ' ~~ CRV '
который отрицателен для состояний равновесия / и 2 и положителен для состояния равновесия 3'). Иначе говоря, при пренебрежении индуктивностью (при L = O) состояния равновесия / и 2 оказываются устойчивыми, а состояние 3 — неустойчивым.
Но характеристическое уравнение (10.12) при малой индуктивности (точнее, при L -}- 0) имеет корнями
Al —--CW
/•„ — L
первый из которых совпадает с корнем характеристического уравнения (10.12а). Для первого состояния равновесия ^f(Zj) ^>0, Х2-> —со и X1 <0; это состояние равновесия является устойчивым и при малых L. Для него, следовательно, малая индуктивность L не является существенным параметром. Но для второго и третьего состояний равновесия і|/ < 0 и X2 _>. -]- оо, т. е. система будет уходить «быстрым» движением от этих состояний равновесия, которые, таким образом, являются неустойчивыми при сколь угодно малых L. Поэтому рассмотрение поведения схемы с вольтовой дугой вблизи состояний равновесия 2 и 3 (на падающем участке характеристики дуги) требует обязательного учета индуктивности L, сколь бы мала она ни была. В частности, состояние равновесия 2, которое было «устойчивым» при L = O (при пренебрежении индуктивностью), является на самом деле неустойчивым из-за наличия в схеме малой паразитной индуктивности. Такая потеря устойчивости будет происходить при исчезновении в характеристическом уравнении сХ2 -j- ?Х -J- с = 0 (где а^>0) члена второй степени (а—a-0) всякий раз, когда не только свободный член с, но и коэффициент b при члене первой степени отрицательны. Этот случай можно для краткости назвать «отрицательным седлом» в отличие ог «положительного седла», для которого только свободный член 0, а коэффициент ?^>0. Следовательно, если а обращается в нуль, то «положительное седло» сохраняет свою неустойчивость, а «отрицательное седло» превращается в устойчивое состояние равновесия.
') Для состояния равновесия 2 и <У < 0, и У? +'-K < 0, поэтому Х<0. § 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ состояний РАВНОВЕСИЯ 741
Нетрудно убедиться в том, что только что рассмотренный нами случай, когда состояние равновесия в дополненной системе превращается в седло, является единственным возможным случаем (для рассматриваемого класса задач) потери устойчивости в результате учета малых параметров. Действительно, состояние равновесия в исходной системе должно быть устойчиво, т. е. единственный корень должен быть отрицателен. При переходе к уравнению второго порядка для потери устойчивости должен появиться второй, положительный корень и, следовательно, два корня будут разных знаков, а в таком случае состояние равновесгїп представляет собой седло.
Можно утверждать и обратное, именно, что при вырождении системы только особая точка типа седла может из неустойчивой превратиться в устойчивую. Это происходит тогда, когда из двух корней при вырождении исчезает положительный корень. С точки зрения изображения движения на фазовой плоскости это значит, что вследствие появившейся в результате вырождения связи между координатой и скоростью представляющая точка может двигаться только по той единственной сепаратрисе, по которой происходит движение по направлению к седлу. Ясно, что пока мы рассматриваем только это движение, седло «кажется» нам устойчивой особой точкой. В действительности достаточно какого угодно малого отклонения представляющей точки в сторону от сепаратрисы, чтобы в конце концов представляющая точка навсегда ушла из области, близкой к состоянию равновесия. Но в реальной системе начальные условия никогда не могут быть заданы абсолютно точно, хотя бы вследствие наличия флуктуаций. Значит, реальная система вследствие наличия самоиндукции и неизбежных отклонений в начальных условиях не сможет находиться в таком состоянии равновесия сколько-нибудь длительное время. Только оба эти обстоятельства вместе — наличие малой самоиндукции и неизбежные отклонения в начальных условиях — приводят к тому, что система уходит из состояния равновесия, которое нам казалось устойчивым.
Рассмотренное нами состояние равновесия как раз является таким, которое без надлежащей проверки мы легко могли бы принять за устойчивое. Так оно и случилось с Фридлендером [151, 152], который случай вольтовой дуги в схеме без самоиндукции привел как пример того, что на фазовой кривой могут рядом находиться два устойчивых состояния равновесия, причем за одно из устойчивых состояний он принимал седло, которое только «кажется» устойчивым.
2, Самовозбуждение мультивибратора. В качестве второго примера, иллюстрирующего влияние малых паразитных параметров на характер состояний равновесия, мы рассмотрим самовозбуждение обычного мультивибратора с одним RC-звеном, учитывая две малые паразитные индуктивности La и L (рис. 516). Пренебрегая сеточными токами и считая анодный ток правого триода Ia функцией только напряжения и на сетке левого триода: іа = ср(н), мы получим для 742
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
рассматриваемой схемы следующие уравнения колебаний:
