Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Одним из методов идеализации, всегда применяемым при построении упрощенной (идеализированной) динамической модели реальной физической системы, является пренебрежение так называемыми «малыми» или «паразитными» параметрами системы. Так, например, рассматривая колебания в /?С-контуре (рис. 502) с помощью уравнения
Rq +У= 0, (10.1)
мы пренебрегали, в частности, малой, паразитной индуктивностью La. Как мы видели в § 5 гл. I, этот параметр La, если он действительно мал (если L0 < CR1), не является существенным. При
») В гл. X Н. А. Железцовым написаны §1, п. 2 § 2, §§ 3—5, 7, п. 4 § 8, §§ 9—11, п. 2 § 12, § 13 и существенно переработаны §§ 6, 8, 12. 728
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
колебаниях, начинающихся из состояний, совместных с уравнением (10.1), это уравнение удовлетворительно и правильно отображает весь
процесс изменения токов и напряжений в /?С-контуре и учет малой индуктивности L0, т. е. переход к «более точному» уравнению второго порядка
L0q +Rq +?=0, (10.1а)
не внесет ничего нового, давая лишь малые поправки к решению уравнения (10.1), тем меньшие, чем меньше L0ICRi *). Аналогично, пренебрегая малыми паразитными параметрами, мы сможем с достаточной степенью точности рассмотреть явления в контуре, состоящем из сопротивления R и индуктивности L, исходя из уравнения
Ld^+Ri = 0, (10.2)
если только эти паразитные параметры малы. Учет, например, малой собственной емкости C0 катушки индуктивности (рис. 503), что приведет к дифференциальному уравнению второго порядка:
C0RL d^i +L^+ Ri = O, (Ю.2а)
не изменит существенно результатов нашего рассмотрения, если только емкость C0 достаточно мала (нужно, чтобы C0^LfRi).
') Здесь, как и всюду в книге, мы будем рассматривать только те движения системы, которые начинаются из состояний, удовлетворяющих уравнениям принятой динамической модели. В рассматриваемом сейчас случае уравнения (10.1) мы можем задать произвольно в начальный момент времени (например, при t = 0) только одну из величин, характеризующих состояние
ЯС-контура (если задано q0, то в силу уравнения (10.1) (q)0 =--^r
RL. ,
(</)о = , ,...). Если же нас интересуют процессы в ЯС-контуре при начальне)
ных условиях, не удовлетворяющих уравнению (10.1) (например, при g0 -J=. 0 и Q0 = 0), то рассмотрение таких процессов не может быть проведено полностью с помощью уравнения (10,1), а требует применения уравнения (10.1а), составленного с учетом паразитной индуктивности L0. Как мы видели в §5 гл. I, на начальном этапе (длительность которого имеет порядок величины L0/R) R4-\-q/C и, следовательно, L0y не малы, что приводит при малых L0 к быстрому изменению тока ^ до величины, близкой к —q0IRC. Далее, даже и в этом случае явления удовлетворительно отображаются уравнением (10.1). Уравнение (10.1а) или соответствующим образом сформулированный постулат скачка тока необходимы для рассмотрения движения только на начальном этапе, когда состояния системы «находятся в конфликте» с уравнением (10.1).
Рис. 502. § 1] ВВЕДЕНИЕ 729
Точно так же при исследовании работы лампового генератора с индуктивной обратной связью мы пренебрегали всеми малыми параметрами, в частности паразитными емкостями и индуктивностями монтажа, междуэлектродными емкостями лампы. Учет тех или иных малых паразитных параметров при-вел бы (кроме значительного услож- j нения задачи) лишь к малым измене-ниям в условиях самовозбуждения ге-нератора и выражениях, определяющих j амплитуду и период автоколебаний, j. и т. д.
Так мы поступали всякий раз при построении динамической модели физической колебательной системы, пренебрегая малыми, паразитными параметрами и рассчитывая на то, что неучтенные малые параметры играют тем меньшую роль, чем меньше их величины. Мы вынуждены это делать хотя бы из-за того, что невозможно учесть все малые параметры.
В рассмотренных выше примерах, равно как и во всех задачах, разобранных нами ранее '), такое пренебрежение малыми, паразитными параметрами, наряду с другими упрощающими предположениями давало возможность построить такие динамические модели (такие системы дифференциальных уравнений), которые позволяли проследить за поведением колебательных систем при 0<^<^-f~oo (конечно, при условии, что начальные состояния (при t= 0) не противоречили уравнениям использовавшихся динамических моделей). При этом результаты рассмотрения находились в качественном и удовлетворительном количественном согласии с экспериментальными данными.
Однако далеко не всегда допустимо отбрасывать все малые параметры, так как среди них могут оказаться параметры, существенные для процессов в рассматриваемой колебательной системе. Например, при рассмотрении генератора, схема которого приведена на рис. 504, нельзя пренебречь малой паразитной, так называемой проходной емкостью лампы С„а, так как только через нее осуществляется обратная связь анодного колебательного контура с сеточным, необходимая для возбуждения автоколебаний. Поэтому, пренебрегая малой емкостью Caa, мы не сможем объяснить даже самовозбуждение схемы.
