Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 263

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 335 >> Следующая


ф; (р, X)=(Ms0 - RC) -}--§ MS0TP - X ^s0Spa < о.

') В этом полиноме мы будем считать, как и в § 4 этой главы, что S0 >0 и что коэффициент при старшем нечетном члене является отрицательным, так как только при выполнении этих условий будут существовать устойчивые автоколебания.

2) Для разнообразия, в отличие от § 4 настоящей главы, мы взяли за зависимую переменную X величину, пропорциональную переменной составляющей силы тока в колебательном контуре, а не переменной составляющей сеточного напряжения. Заметим, что один из коэффициентов ?, Ь или є может быть сделан равным любому заданному числу (например, единице) путем выбора масштаба Ф0. § 10]

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ ЛАМПОВОГО ГЕНЕРАТОРА

721

Пусть параметром, влиянием изменения которого на рассматриваемую систему мы интересуемся, будет коэффициент взаимоиндукции М. Следовательно, нам нужно построить бифуркационные диаграммы М, р для мягкого и для жесткого случая возникновения колебаний. Мы ограничимся рассмотрением области М^> 0, соответствующей нормальному для лампового генератора направлению витков в катушке обратной связи. Не следует также забывать, что физический смысл имеют лишь значения р^О, так как лишь они соответствуют действительным амплитудам стационарных решений.

Чтобы упростить выкладки, мы будем каждый раз выбирать ,возможно более простую математическую идеализацию, делая те или иные предположения относительно коэффициентов ряда, представляющего характеристику лампы *).

1. Мягкое возникновение колебаний. Как известно, мягкое возникновение колебаний получается при S3 < 0 (см. § 4 этой главы), причем наличие в этом случае члена 5-й степени в выражении для характеристики лампы не приводит к появлению каких-либо новых качественных особенностей в поведении системы. Поэтому, положив Sss < 0, S4=O (т. е. е = 0), мы сможем, максимально упро-

стив выкладки, отобразить существенные черты мягкого возникнове-

3 3

ния колебаний. Вводя обозначение: -S07 = ^u)^„S2 = —а (а^>0), запишем Ф (р, М) в виде:

Ф (р, M) = {MS0 — RC— аМр} р. (9.97)

Отсюда видно, что на плоскости М, р кривая Ф (р, М) = 0 распадается на прямую р=0 и гиперболу:

MSd-RC-UMP = O.

Выделив на плоскости М,р область Ф(р,/И)^>0, мы сможем, пользуясь общими правилами, изложенными в гл. II, § 5, наметить устойчивые (светлые кружки) и неустойчивые (черные кружки) части линейных рядов (рис. 491).

Бифуркационным значением параметра M служит значение Mx = RC

= , где пересекаются линейные ряды, соответствующие вы-

O0

шеупомянутым прямой и гиперболе. Прямая устойчива до значения

') Мы еще раз "обращаем внимание читателя на то, что в выражения (9.96) входят лишь те коэффициенты ряда, изображающего характеристику, которые стоят при нечетных степенях. Остальные коэффициенты, не влияя, таким образом, в первом приближении на величину амплитуд и на устойчивость стационарных режимов, могут играть существенную роль при действии внешней силы (например, в случае детектирования, резонанса л-го рода). 722 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX

параметра M = Mi, затем после смены устойчивости в точке бифуркаций устойчивой становится гипербола.

Теперь перейдем от бифуркационной диаграммы М, р к фазовой плоскости х,х и будем исследовать эту фазовую плоскость при

различных М. На фазовой плоскости для мы имеем только одно устойчивое стационарное состояние — устойчивый фокус (рис. 492). Где бы ни находилась изображающая точка, она, двигаясь по одной из спиралей, в конце концов окажется в ближайшем соседстве с устойчивой особой точкой.

При переходе M через бифуркационное значение M = Mi от особой точки отделяется устойчивый предельный цикл (рис. 493). Изображающая точка, находившаяся раньше в состоянии равновесия, перейдет теперь на предельный цикл, так как при M Mi состоя-

в системе происходят колебания и имеет место самовозбуждение. При увеличении M радиус предельного цикла увеличивается и стре-

Sa

мится к асимптотическому значению, соответствующему р =—.

') Мы будем предполагать, что изменения параметра M достаточно медленны. Так как всякое движение в автоколебательных системах приближается к стационарному,то при достаточно медленных изменениях параметра мы можем считать, что изображающая точка находится в окрестности стационарных движений. § 10]

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ ЛАМПОВОГО ГЕНЕРАТОРА

723

При уменьшении M система ведет себя обратимо, предельный цикл сжимается, изображающая точка двигается по предельному циклу и при M = M1^KOrfla предельный цикл сожмется в точку, изображающая точка снова вернется в начало координат, которое в этот момент превращается в устойчивый фокус.

Прибор, измеряющий амплитуду колебаний генератора К, при изменении M покажет плавный («мягкий») переход с постепенно (без скачков) меняющейся амплитудой от состояния покоя к стационарным колебаниям, и обратно (рис. 494).

2. Жесткое возникновение колебаний. Предположения Sa 0 и

S4 0 отображают, как мы уже видели, существенные черты жесткого возникновения колебаний. Вводя обозначения:
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed