Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
715
E
U1 ¦
О L
о
—VWV
порядка уравнений, описывающих систему. Так, например, оказывается возможным учесть влияние сеточного тока в ламповом генераторе с колебательным контуром в цепи сетки (рис. 489).
При рассмотрении мы будем пренебрегать реакцией анода и сделаем мj ; простейшее предположение относительно формы характеристик анодного и сеточного токов. Именно, мы будем считать, что как анодный, так и сеточный токи могут быть заданы в виде полиномов третьей степени от на- Рис. 489.
пряжения на сетке us.
Применяя обозначения, приведенные на рис. 489, и пользуясь законами Кирхгофа, получим:
V/M
с duS
JRi = Ua-M dia-
1 а
dt
dt
откуда, исключая ток і в колебательном контуре, имеем:
LC- g
dl3
RC-
du„
M-
dL
di„
dt dt +L-^JugJRis = O. (9.88)
Очевидно, генератор имеет единственное состояние равновесия Ug = Ugt определяемое уравнением
U9g J RleWe) = о (графическое решение этого уравнения приведено на рис. 490).
Рис. 490.
Введем переменную составляющую сеточного напряжения
Пусть
Ia = Ia0JSiIiJS^-SiU3,
Ig = ^o "I- Piu jT Piui jT Рз
и3, 1
J
(9.89) 716 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
тогда уравнение колебаний в генераторе запишется в виде:
d*u . Г R MS1 I P1 I du I 1 +Rp1 _ Г MSs _ ps~]d(uа) ,
~dF "Г" У L TC CJ dt "Т IC~и У LC С J dt *
і г msK I P« 1 d(»3) I Rpi „а і ^Pt »3 _ п "г ["!^ + ^"rfr^Tc-" "+"Тс-
Введем следующие обозначения:
Г tf MS1 і_?і_ї___. MS3 , ps___
I Z. ~~ LC C a»' LC C — P1' 'LC ~T~~C Tl'
При соответствующих предположениях о малости коэффициентов это уравнение легко может быть приведено к виду: х -\-x=\i.f(x, jc) (лг — безразмерная переменная и ,j. — малый параметр), для которого нами были развиты теории Ван-дер-Поля и Пуанкаре и получены общие формулы для амплитуд периодических решений, для поправки к частоте в первом приближении и т. д.
Однако мы сейчас не будем пользоваться этими общими формулами, а покажем, как можно в таких случаях с минимумом вычислений получить нужный результат; само собой разумеется, что тот же результат может быть получен и из общих формул. Введем «расстройку» аа, т. е. разность между квадратом действительной частоты Qa и со*:
a3 = Q3 — о>».
Величины аи ?j, J1, т, п, а3 мы предположим достаточно малыми (порядка малости р.) по сравнению с частотой о)0. Теперь уравнение движения принимает вид:
^H- 2? = a, *L + P1 IgL _Tl Ш. _ „и* _ ти3 + а*и. (9.88а)
Чтобы определить амплитуду и поправку на частоту, положим и = = К sin QZ и уничтожим в правой части резонансные члены. Получим два уравнения для определения Ki и аа:
Kal2-I^=O, — т K3-^a3K=O,
откуда имеем:
K3=-^i-, а3 ATw2 = -^-. (9.90) СИСТЕМА, БЛИЗКАЯ K ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ
717
Следовательно, частота равна:
па__]__і RPi і та і
LC ~т~ LC ~т~ 7, •
Мы видим, что в рассматриваемой схеме при учете сеточного тока получается поправка на частоту уже в первом приближении '). Чтобы процесс H = ArSinQ^ был устойчив, нужно, чтобы постоянный член ряда Фурье, изображающего производную правой части уравнения (9.88а) по «, был меньше нуля, т. е. чтобы постоянный член разложения в ряд Фурье выражения 04 -j- 2JJ1H — 3^1H4 был меньше нуля. Из этого условия получаем:
«і-! Ti^4C О
или
T7'
что в силу (9.90) всегда имеет место; следовательно, найденное нами периодическое движение всегда устойчиво.
Наконец, условие самовозбуждения схемы есть aj^>0 или
R і P1 MS1 ^ L ' С LC ^
т. е. с точки зрения условий самовозбуждения ток в цепи сетки действует как некоторая добавочная нагрузка на контур, ухудшающая условия самовозбуждения.
§ 9. Теория бифуркаций в случае автоколебательной системы, близкой к линейной консервативной системе [89]
Мы рассматриваем по-прежнему автоколебательную систему с одной степенью свободы, близкую к линейной консервативной системе, и полагаем, что поведение этой автоколебательной системы существенно зависит от какого-нибудь параметра, которому мы можем придавать различные фиксированные значения. Уравнение движения системы в таком случае может быть записано в виде:
Л: + лг = |І/(ЛГ, х-, Ц, (9.91)
') При нашем рассмотрении мы не считали сопротивление колебательного контура R малой величиной, но считали малыми (порядка р.) коэффициенты а,, р,, 7,, т и п, т. е. полагали, что генератор близок к порогу самовозбуждения, а нелинейности характеристик анодного и сеточного токов малы.
Если же считать малым также и сопротивление контура R (m0RC полагать величиной порядка р.), то поправка на период и при наличии сеточных токов будет величиной порядка р.2. 718 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
где jc — координата системы (например, смещение, напряжение и т. д.), |j. — малый параметр, который характеризует степень близости рассматриваемой автоколебательной системы к линейной консервативной системе, X— тот параметр (например, коэффициент взаимоиндукции и т. д.), влиянием изменений которого на рассматриваемую систему мы интересуемся, /(jc, jc; X) — нелинейная функция, определяемая физической природой сопротивлений и устройств, доставляющих энергию системе. Перейдем к исследованию уравнения (9.91), предполагая ц достаточно малым.
