Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, в наших рассуждениях мы предполагали, что f(x, х) — голоморфная функция л: и х. Однако иногда бывает весьма выгодно пользоваться так называемыми ломаными характеристиками (например, характеристика твердого трения, !-характеристика генератора и т. д.), которые, очевидно, суть функции неголоморфные. В этом случае целесообразно поступать так: рассматривать неголоморфную функцию как предел некоторой голоморфной; провести вычисление всех нужных интегралов (определяющих амплитуды, устойчивость и т. д.), перейдя к пределу (что обычно упрощает выкладки), а результаты истолковать не для ломаных характеристик (что, вообще говоря, было бы неверно), а для близких к ним голоморфных.
') Грубая оценка ц0 может быть сделана по Пуанкаре. Однако эта оценка весьма груба и часто не имеет практического значения.
Физики иногда, для грубой оценки погрешности нулевого приближения,поступают следующим нестрогим образом: вычисляют численную величину выражения
max { / (Kl COS и, — Kl sin «)} „
-L v —---— для значений параметров, соответствующих
Ki
физическим условиям задачи, и для интересующей нас амплитуды нулевого приближения Ki- Если эта величина равна, например, '/ю, то считают, что амплитуда нулевого приближения дает амплитуду основного тона с точностью порядка 10°/о и т. д. Легко видеть, что и эта оценка для многих случаев не имеет практического значения. Аналогичный прием см. у А. Н. Крылова [77], стр. 44.
23* 708 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
1. Ламповый генератор в случае !-характеристики. Рассмотрим в качестве первого примера автоколебания лампового генератора с колебательным контуром в цепи анода при аппроксимации характеристики лампы /-характеристикой (см. также § 3 гл. III). Уравнение колебаний в таком генераторе (3.15) после введения безразмерных переменных
1 і г
Х = И ^hob = VCT
(/0 — некоторый масштаб тока, <u0=-p^i=) приводится к виду:
x+x = -%RCx+\i; "Р" *>°> [О при х<0.
Оно близко к уравнению гармонического осциллятора при выполнении двух условий:
<о0ЯС< 1 и ?<1,
1O
т. е. при малом затухании колебательного контура и при малом токе насыщения Is характеристики лампы (мы будем считать ниже, что
эти условия выполняются). Введем [а = <и0/?С<М и ?=-^
ш., RCi0
величину порядка единицы. Тогда уравнение колебаний приводится к виду:
* + * = (![—*+?. 1(*) П, (9.83)
пригодному для применения метода малого параметра (например, метода Ван-дер-Поля). Так как
2it
Ф W = --? J H-ff Sinr? + P-I (-/TsIn и)] sin и du =
о
1%
я
а
2*
W(Ar)=-^ J [Ar sin и+ P-I (-ArSin и)] cosarfa = 0,
') Как и раньше,
, f 1 ПРИ 2>°.
1 0 при 2<0. § 7] ламповый генератор в случае ломаных характеристик 709 то в нулевом приближении амплитуда автоколебаний
K-
2?
я м„RC '
(9.84)
а период автоколебаний равен 2тс'). Эти автоколебания устойчивы, так как
2. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик без насыщения. Рассмотрим теперь, также с помощью метода малого параметра, автоколебания генератора, характеристика лампы которого не имеет насыщения и изображается в виде двух прямолинейных отрезков: горизонтального и наклонного (рис. 482), т. е. крутизна характеристики
S(Ug)
5 при ug^>ug0, 0 при ug < ugo
(ug0 — напряжение запирания лампы). Как мы видели в § 2 гл. VIII, в случае такой ограниченной с одной стороны характеристики при Рис. 482. известных условиях возможны устойчивые автоколебания.
Ламповый генератор (например, с колебательным контуром в цепи сетки (рис. 465, а)) при такой кусочно-линейной характеристике лампы близок к гармоническому осциллятору только при малом затухании колебательного контура и при слабой обратной связи. Уравнение для напряжения на конденсаторе («безразмерного») будет иметь вид (см. § 1 настоящей главы):
¦?-(- д г = р, [— 1 -(- a S (дг)] дг,
(9.3)
') В обычных единицах период равен 2п а амплитуда колебаний
тока в колебательном контуре
I=IoK--
2 Is
л U0RC
в полном согласии с результатами § 3 гл. III (для случая р. = м0RC 1). 710 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
где
х = — = —(м0 — некоторый масштаб напряжения),
uo uo
P = WbRC (0<Ц<1), MS
RC
(а является величиной порядка единицы),
в (х) = S(^i-Sf) =1(х_*)=( 1 при*>*, л I 0 при х<?,
Il _ ?
Ъ= -S-— приведенное напряжение запирания лампы и дифферен-
/ 1
цирование ведется по безразмерному времени f = w0t I w0 =
VlcI-
Очевидно, при Ь^>0, т. е. при Eg<^ug0, самовозбуждения нет,
{самовозбуждения нет, если а'< 1; самовозбуждение есть, если 1.
В качестве периодического решения (в нулевом приближении) можно взять:
^=cPo (O = ATcos t.
К мы будем считать положительным; так как фаза произвольна, то это не нарушает общности. Амплитуда автоколебаний К определится из условия, что С(2к) = 0, или иначе
C(2*) = ATJ[— 1 +<*•! (Кcos ii — b)] siniUdit =
0
s
= К [— тс -j- 2а J sin'2 и du] = 0, (9.85)
о
где ? есть то значение и, при котором К cos и — Ь = 0, т. е.
