Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
: І + І а
rdV _ и ^ dt --R1
La^ + RaH = Ea-[i + L§+v], или после простых преобразований:
[^+«w+ijl-=
=Ea-RaV (и) -dV
s dt
Ra
V,
CR
и.
(10.13)
Единственное состояние равновесия в этой схеме определяется условиями:
H0 = O1 V0= Ea — Rav (0).
Разлагаем характеристику ламповой группы в ряд по степеням и:
Ia = V(U) = V(O)-Su + ...,
где S= — V' (0) > о, так как характеристика ламповой группы гв = ср(н), как известно, является падающей (с отрицательной
Рис. 516.
крутизной). Ограничиваясь линейным приближением, мы получим следующие линейные уравнения для малых колебаний вблизи состояния равновесия;
du
Р — = — р u — Rgv ,
CR
dt
dv Z~dt
К.
(10.13а) § 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ состояний РАВНОВЕСИЯ 743
где
? = Rt-\-Ra(I-SRg), P = LJLa(I-SRg) и T-=K-K0.
Характеристическое уравнение линейной системы уравнений (10.13а), очевидно, имеет вид:
^ + P R»
— 1
CRgI
• 0
пли
^» + рХ+ ' 0,
(10.14)
что дает следующие условия устойчивости состояния равновесия (отсутствия самовозбуждения):
|х>0, р>0.
При р, < 0 особая точка (0, V0) есть седло, а при р, 0 эта же особая точка может быть либо узлом, либо фокусом и неустойчива при р < 0. Полная диаграмма разбиения плоскости па- ^P раметров р., р на области существования того или иного типа особой точки (состояния равновесия) приведена на рис. 517.
Если бы мы пренебрегли паразитными индуктивно-стями La и L, т. е. положили р, = 0, то получили бы (после линеаризации) следующее уравнение первого порядка:
PC*L + B = 0.
и устойчивость состояния Рис. 517.
равновесия и = 0 зависела
бы только от знака параметра р; именно, при р]>0 это состояние равновесия было бы устойчивым. Но «устойчивость» состояния равновесия системы первого порядка (при р]>0) и в этом случае обусловлена «нашей наивностью». Однако, как мы сейчас увидим, «не быть наивным» в этом случае еще труднее, чем в предшествующем.
Допустим сначала, что в анодной цепи имеется паразитная индуктивность La, а в цепи с емкостью ее нет, т. е. положим, что L = O.
Кроме того, положим, что 1 < SRg < 1 J > т. е. что 0 < р < Rg. 744
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Тогда состояние равновесия, с точки зрения наших обычных критериев устойчивое при La = O, сразу теряет свою устойчивость при каком угодно малом La и превращается в седло. И при каких угодно малых отклонениях от устойчивого уса седла (а такие малые отклонения в реальной системе всегда неизбежны) представляющая точка в конце концов уйдет как угодно далеко от этого состояния равновесия. Поэтому в реальной системе такое состояние равновесия неустойчиво.
Но ведь самоиндукцией, хотя бы малой, обладает и цепь с емкостью, т. е. в реальной системе L Ф 0. Однако, учитывая L, мы не только не нарушим условий устойчивости, которым удовлетворяет состояние равновесия вырожденной системы при La = 0 и р^>0, ко даже можем вернуть «устойчивость» тому состоянию равновесия, которое оказалось неустойчивым в силу наличия паразитной самоиндукции La. Действительно, если L достаточно велико, так что [j, = L -J- La (1—SRg)^>0, несмотря на то, что SRg~^>\, то состояние равновесия, которое было неустойчивым при La^fcO и L = 0 (седло), становится устойчивым при появлении достаточно большого L. Таким образом, мы видим на конкретном примере, что не только самый факт наличия того или иного паразитного параметра может влиять на устойчивость состояния равновесия, но и соотношение между паразитными параметрами может оказать решающее влияние на результат рассмотрения вопроса об устойчивости данного состояния равновесия. Но если мы можем быть уверены в самом факте существования паразитных параметров, то мы обычно ничего не можем сказать об их величине и тем более о соотношении между различными паразитными параметрами. Поэтому из того результата, к которому мы пришли выше относительно влияния La и L, мы должны в сущности вывести такое заключение. Есть область, в которой мы для вырожденной системы вообще ничего не можем сказать об устойчивости состояния равновесия, в нашем примере—это область значений р, ограниченная пределами 7"^>р^>0. Так как в этой области SRg~^> 1, то решение вопроса об устойчивости состояний равновесия зависит от не поддающихся учету факторов — величин паразитных параметров. Поэтому, рассматривая вырожденную систему и указывая для нее условие возбуждения, т. е. условие неустойчивости р<^0, мы должны иметь в виду существование также и области «неопределенных» состояний равновесия, простирающейся от р = /" до р = 0. Вполне возможно, что так называемое «паразитное самовозбуждение» в схемах, появляющееся и исчезающее без всякого заметного изменения параметров схемы, во многих случаях обусловлено именно малыми изменениями величин малых параметров в таких областях «неопределенных» состояний равновесия.
Аналогичный результат получается и при учете малых паразитных индуктивности La и емкости Ca в анодной цепи (емкость Ca изоб- § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
