Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой результат идеализации). Как и раньше, обозначим характеристику дуги, т. е. зависимость напряжения на дуге v от силы тока через нее і, через ті = ф (г) (рис. 510). р
Повторим и дополним те выводы, -WvVWl-
которые были .сделаны нами раньше (см. § 5 гл. V) при рассмотрении этой схемы.
Уравнения для рассматриваемой схемы мы получили в виде:
і
Г (Ii
L — =з и
dt
du
с Tt
Е —
R
(10.11)
Рис. 509.
Состояния равновесия этой системы (/, U) определяются, очевидно, из условия
ф(V) = E-Ri
и соответствуют точкам пересечения характеристики дуги и = ^(і) и «нагрузочной» прямой и = Е — Ri', этих точек пересечения может
Рис. 510.
Рис. 511.
быть либо одна, либо три (рис. 511). Ниже мы будем рассматривать наиболее интересный случай трех состояний равновесия. Линеаризуя уравнения (10.11) в малой окрестности состояния равновесия (I1U), мы получим для переменных составляющих силы тока I = і — I и напряжения на конденсаторе Tj= и — U следующую систему линейных уравнений:
d-
'Tt
; — lb'
ГО*. СК?? = -Т|-К5
с характеристическим уравнением
І Л+W -1
I R CRX+ 1
24 Теории І.ОЛеиіІННЙ
= 0738
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
или
LCR ¦ Xа + [L -f- СЯф' (/)] X -f- R -f- <j/ (/) = 0. (10.12)
Очевидно, характер состояния равновесия (ItU) зависит от знака и величины (/), т. е. от «дифференциального сопротивления» дуги при равновесном значении силы тока i = I. Пусть состояние равновесия, отмеченное цифрой 1 на рис. 511, лежит на поднимающемся участке характеристики дуги. Тогда оно устойчиво (так как (JZ(Z1)^O и оба корня уравнения (10.12) или их действительные части отрицательны); это либо устойчивый фокус, либо устойчивый узел в зависимости от соотношений между L, С, R и <|/ (I1). В точке 2 ф' (Ii) отрицательно и, как видно из диаграммы, по абсолютной величине больше, чем R. Следовательно, R -f- ф' (Ii) 0, и особая точка 2 есть седло. Соответствующее ей состояние равновесия всегда неустойчиво. Наконец, в точке 3 хотя <|/ (Z3) <^0, но, как видно из диаграммы, по абсолютной величине ф'(/3) меньше, чем Rt и, значит, R-{- <\>'(13)^>0, т. е. особая точка, отмеченная цифрой 3, также может быть либо фокусом, либо узлом Эта особая точка
неустойчива, если 1Ф' (/3) 1 пп > в противном случае она устой-
LtH
чива. Так как ф' (I3) есть величина сравнительно малая (характеристика хотя и падающая, но пологая), то при малых L состояние равновесия 3 всегда неустойчиво; наоборот, при малых С это же самое состояние равновесия всегда устойчиво. Вообще же переход от устойчивого к неустойчивому состоянию равновесия в этой точке происходит при каком-то определенном «критическом» значении изменяемого параметра (этим изменяемым параметром может быть любой: Rt L или С). Итак, при наличии трех состояний равновесия мы можем иметь в смысле их устойчивости одну из двух комбинаций, изображенных на рис. 512 и 513 2).
Посмотрим теперь, изменится ли и как именно характер этих состояний равновесия, если одним из двух параметров, L или С, мы пренебрегаем. Пренебрегая емкостью, мы получим схему, приведенную на рис. 514; пренебрегая индуктивностью — схему на рис. 515, поведение каждой из которых мы попытаемся отобразить соответствующим уравнением первого порядка (первую из этих схем мы уже рассматривали в § 6 гл. IV). Значения і и и, соответствующие состояниям равновесия во всех трех случаях, именно: в общем слу-
') Мы считаем для определенности, что характеристика дуги на большом участке является падающей. Следовательно, для всех не слишком малых R и не слишком больших E всегда (Z8) < 0. Если точка 3 лежит в поднимающейся части характеристики, то ф' (Z8) >0 и точка 3 всегда устойчива.
2) На рисунках точки 1 и 3 изображены в виде узлов. Но эти точки могут быть и фокусами; в отношении же устойчивости картина останется неизменной.§ 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ состояний РАВНОВЕСИЯ 739
чае Ьф 0, Сф 0 и в частных случаях C=O, L^O и С ^ 0, L = 0, очевидно, остаются одними и теми же.
При переходе к случаю C = O ничего не изменяется в смысле устойчивости этих состояний равновесия: состояния 1 и 3 остаются
Рис. 512.
Рис. 513.
устойчивыми, а состояние 2 неустойчивым (как и при малых, но отличных от нуля С), т. е. малая емкость С в схеме не является существенной для устойчивости всех трех состояний равновесия.
г—vwwwv—чшб^-
й и
—WvWAV-
8
Рис. 514. Рис. 515.
В самом деле, при С->-{-0 характеристическое уравнение (10.12) имеет своими корнями
# + 1 A1 =----- и A2=-— -> — 00,
т. е. корень A2, обусловленный наличием в схеме малой емкости, всегда отрицателен, вследствие чего устойчивость состояния равновесия полностью определяется знаком X1, являющегося корнем характеристического уравнения схемы без емкости: LX -{- R -(- ф' = 0.
Иная картина получается при пренебрежении индуктивностью L (даже сколь угодно малой). Характеристическое уравнение для
24*740 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. X
состояния равновесия схемы без индуктивности (при L = O)