Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь методами малого параметра (методом Ван-дер-Поля или методом Пуанкаре), мы показали, что при р -ф 0, но достаточно малом на плоскости останутся, вообще говоря, только изолированные замкнутые кривые, близкие к окружностям, радиусы которых К определяются уравнением
Ф (ЛГ; X) = 0, (9.92)
где
2тг
Ф (К\ X) =--^ f(K cos и, — К sin щ X) sin и du.
о
Остальные интегральные кривые не будут замкнутыми — это будут спирали, мало отличающиеся от окружностей, если ц достаточно мало. Как мы видели, периодические движения, соответствующие изолированным замкнутым интегральным кривым — предельным циклам Пуанкаре, — будут устойчивы (и орбитно и по Ляпунову), если выполнено неравенство
ФЖ;*)<о. (9.93)
Таким образом, условия (9.92) и (9.93) представляют полную аналогию с условиями, которые мы имели для состояния равновесия консервативной системы (гл. II, § 5), только вместо координат особых точек леї, jc2,..., jcs мы должны рассматривать Ku Ki,..., Ks — амплитуды стационарных движений, к которым относятся как предельные циклы, близкие в этом случае к кругам, так и особая точка K= 0.
Итак, для зависимости стационарных движений от параметра мы действительно получаем ту же самую картину, которую мы имели в гл. II, § 5 для зависимости состояний равновесия от параметра. Мы здесь получаем снова «линейные ряды», теперь уже не состояний равновесия, а стационарных движений, которые сохраняют свою устойчивость или неустойчивость до слияния с другими линейными рядами, т. е. до точек бифуркации. «Линейные ряды» стационарных движений задаются уравнением (9.92). Их устойчивость может быть определена так же, как и в § 5 гл. II: на плоскости X, К отмечается область, где Ф (К', ^) 0; тогда линейный § 10] ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ ЛАМПОВОГО ГЕНЕРАТОРА
719
ряд, расположенный над этой областью, соответствует устойчивым стационарным движениям, а ряд, расположенный под областью Ф (/С; X) 0, — неустойчивым стационарным движениям (периодическим движениям или состояниям равновесия).
Как мы увидим дальше, точки бифуркации имеют важное физическое значение: это те значения параметра, при которых происходят качественные изменения происходящих в системе процессов, например возникновение колебаний, срыв колебаний и т. п.
Стационарные движения, о которых мы сейчас говорили, подобно состояниям равновесия консервативных систем образуют замкнутую систему элементов, между которыми происходит «обмен устойчивостью».
Прежде чем перейти к рассмотрению какого-либо конкретного примера с точки зрения теории бифуркаций, заметим, что в ряде задач исследование зависимости характера движения системы от параметра X удобно проводить не на плоскости X, К, а на плоскости X, р, где
P = Ю
— квадрат амплитуды стационарного движения, если вместо функции Ф (K', X) рассматривать функцию
ф(р; X) = 2VT®(Vp:; =
—--L J f (Yp cos и, — Ур sin if, Х) |/р sin и du\ (9.94)
о
тогда линейные ряды стационарных движений определятся уравнением
Ф(р; ^ = 0, (9.92а)
а их устойчивость — условием
Фр (р; ^XO1). (9.93а)
§ 10. Применение теории бифуркаций к исследованию режимов лампового генератора [14]
Рассмотрим в виде примера случай мягкого и жесткого возбуждения лампового генератора. Возьмем, чтобы не повторяться, ламповый генератор с колебательным контуром в цепи анода (рис. 465, б\ см. стр. 651) при обычных упрощающих предположениях, т. е.
') Такое исследование зависимости стационарных движений от параметра X путем построения «бифуркационной диаграммы» на плоскости X, р целесообразно проводить, в частности, при f(x, к, \) = F(x, X) х или при f(x,x, X) = F1 (л?, X), где F(x, X), F1 (х, X) —полиномы (соответственно по л: и л"). 720 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
пренебрегая сеточным током и анодной реакцией. Уравнение тока в колебательном контуре может быть записано в виде:
LC^r + RC ^+ I = Ia. (9.95)
Здесь Ia = <.р(кг) — анодный ток, зависящий только от сеточного напряжения Ug = Eg + и, где и = —э. д. с. взаимоиндукции.
Характеристику лампы мы аппроксимируем степенным рядом; ограничиваясь — этого будет достаточно для нашей цели — членами до 5-й степени включительно, можно положить (см. § 4 этой главы):
V= T (Ев + и) = Ia„ + + S1Ha + S2H3 + S3H1 - SiUi 1).
Введем новые, безразмерные переменные
, t Mf.,. r„„R = —^ и X=-U — L0).
нов уLC V ао;.
где Ф0 — некоторая неизменная для данной схемы величина, имеющая размерность магнитного потока (величина I0 = ФJM является масштабом тока). Выбрав за малый параметр |jl = Co0AIiSq, мы приведем уравнение колебаний (9.95) к требуемому виду:
X -L X = \х [ах + ? (x)a + 7 (X)3 + 8 (хУ — г (л:)5], (9.95a)
где
_ _ AlS0 - RC А__HfflS1 «ffls,
а — > P — я. > T — ё; . 0 — с .
—ST-
— также безразмерные параметры, но уже не малые, а порядка единицы а).
В соответствии с (9.92а) и (9.93а) мы можем записать условия для амплитуд и устойчивости (с точностью до положительного множителя) в следующем виде;
Ф (р, X) = (MS0 -RC) p + 4 msjpa - 4 MS0sp3 = 0
