Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 = arc cos (0<?<т) >).
Амплитуда автоколебаний К не входнг явно в уравнение (9.85), но она не произвольна, а определяется из соотношения
AT= (9.85а)
cos ? v '
1) Только при — S < и с Ч К cos и — Ь > 0 и 1 (AT cos u — ?)=1; ? существует только при Так как К положительно, то OcSc ^
при Ь > О и < ? < я при Ъ < О. § 7] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ ЛОМАНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 711
где & в свою очередь определено уравнением (9.85). Последнее после проведения интегрирования принимает такой вид:
— 2я Jr а (2? — sin 25) = 0 (9.856)
или
** = 2; — sin 2; • <9-85в)
Соотношения (9.85а) и (9.85в) дают зависимость амплитуды К от параметра генератора а, выраженную в параметрической форме (через
вспомогательный параметр 5: при 0 и
при й<о).
Так как знаменатель выражения (9.85в) является монотонно возрастающей функцией 5 '), причем 0 <^25— sin 2Е тг при 0<^5<^
и те 25 — sin25<^2it при ^ <^5 it, го согласно (9.85в) а>2 при й>0 ^т. е. при 0<5<|) и 1<а<2 при й<О, когда " Таким образом, каждое значение параметра а:
а>2 при й>0, ]
\ (9.86)
1 <а<2 при й< О J
однозначно определяет 5 (с помощью уравнения (9.856)) и, следовательно, амплитуду автоколебаний К. Если же неравенства (9.86) не выполнены, то уравнение (9.856) не имеет решения, а исходное уравнение (9.3) не имеет периодических решений. Итак, только при выполнении условий (9.86) существует предельный цикл, и притом единственный.
Перейдем к исследованию устойчивости найденного периодического решения. Как известно, условие устойчивости заключается в том, чтобы постоянный член Фурье разложения функции
f'k (К cost, — К sin t) = — 1 Jr а • 1 (К cos t — b) был меньше нуля, т. е. чтобы
S
— 2it Jr 2а ^ dt < О, о'
или, используя (9.856):
2it5 — 2it = sin 25 < 0. (9.87)
Это условие выполнено при т. е. при Ь<^0, и не выпол-
нено при 0, когда
і) В самом деле, ^(2;— sin 2;) = 2(1 — cos 2;) ^sO. 712 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Таким образом, при 0, т. е. при Е„^>и„0, мы в зависимости
MS
от значения параметра о. = -рр имеем три качественно различных
разбиения фазовой плоскости на траектории (рис. 483 — 486): ири а<^1 все траектории идут при <->--)-оо к устойчивому состоянию
равновесия (рис. 483); при 1<^а<^2 существует устойчивый предельный цикл, к которому при t->-(-оо стремятся все траектории (рис. 485); радиус этого предельного цикла /С-^ + оо при а->-2 § 7] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ ЛОМАНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 713
(т. е. предельный цикл уходит в бесконечность при а = 2), и при а ^>2 все траектории уходят в бесконечность (рис. 486). Минимальная величина К равна \Ь\ и соответствует 4 = тс (т. е. а=1). Поэтому при переходе а через значение а=1 сразу появляется предельный цикл конечных размеров. В момент появления предельного цикла (т. е. при а=1 или при MS = RC) возможны периодические колебания с любыми амплитудами т. е.
в этом случае генератор имеет состояние равновесия типа центра (рис. 484).
При О (при ?g<^Mgo) состояние равновесия всегда устойчиво (устойчивый фокус). К этому состоянию равновесия приближаются все траектории, если а <2 (рис. 487). Если же а ^>2, то существует неустойчивый предельный цикл (его радиус тем меньше, чем больше а), вне которого траектории уходят в бесконечность (рис. 488) 1).
Уход фазовых траекторий в бесконечность при а ^>2 (при Л15^> ^>2RC), очевидно, означает неудовлетворительность использованной нами идеализированной характеристики лампы (мы пренебрегали
') Как нетрудно убедиться, все полученные результаты находятся в полном согласии с результатами § 2 гл. VIII для случая h„ h2 < 1, когда колебания генератора близки к синусоидальным, 714 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
сеточными токами и анодной реакцией, которые заведомо играют существенную роль при больших положительных напряжениях на
сетке лампы, получающихся при достаточно большой обратной связи).
§ 8. Влияние сеточного тока на работу лампового генератора
Рассматривая различные ламповые схемы, мы всегда предполагали, что в цепи сетки лампы ток отсутствует. Это предположение существенно упрощает задачу, и вместе с тем довольно часто можно считать, что оно с достаточной точностью оправдывается на опыте. Однако в других случаях, также имеющих практический интерес, во время работы генератора в цепи сетки течет ток, имеющий значительную величину. Поэтому интересно проследить, какое влияние на работу лампового генератора может оказывать ток в цепи сетки. Однако учет сеточных токов, вообще говоря, очень существенно усложняет задачу, именно, приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего данную ламповую схему. Поэтому, ограничив свою задачу рассмотрением схем, описываемых одним дифференциальным уравнением второго порядка, мы лишены возможности поставить вопрос об учете сеточного тока в общем виде (в частности, в схемах генераторов с автоматическим смещением в цепи сехки). Но в некоторых частных случаях оказывается возможным ввести в рассмотрение сеточный ток, не повышая при этом ВЛИЯНИЕ СЕТОЧНОГО ТОКА НА РАБОТУ ГЕНЕРАТОРА
