Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Не все паразитные параметры являются существенными для колебательных процессов в мультивибраторе. Если мы, к примеру, учтем одну из паразитных индуктивностей, указанных пунктиром на рис. 507, и не будем учитывать паразитных емкостей, то мы получим динамическую модель второго порядка, но по-прежнему «дефектную», «вырожденную», т. е. недостаточную даже для качественного объяснения работы мультивибратора (см. § 8 этой главы).
2) В §8 гл. IV мы рассмотрели автоколебания мультивибратора, пользуясь «дефектной» моделью первого порядка, дополненной постулатом скачка сеточного напряжения и. Этот постулат скачка, по сути дела, является косвенной формой учета существенных паразитных параметров и получается как следствие динамики «доброкачественной» модели второго порядка, построенной с учетом хотя бы одной из указанных выше паразитных емкостей (см. § 4 этой главы, а также § 5 гл. VIII). § 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ состояний РАВНОВЕСИЯ 733
Все сказанное о мультивибраторе с одним /?С-звеном относится в равной мере и ко всем другим системам, совершающим разрывные колебания. В этих системах, так же как и в мультивибраторе, сам характер колебаний обусловлен существенностью некоторых малых паразитных параметров на определенных этапах колебательного процесса. Поэтому рассмотрение систем с разрывными колебаниями,' что является целью настоящей главы, невозможно без учета в той или иной форме по крайней мере некоторых существенных паразитных параметров этих систем.
Прежде чем переходить к изложению приближенных методов рассмотрения систем с разрывными колебаниями (в § 3) и к рассмотрению конкретных примеров таких систем (в последующих параграфах), мы поставим перед собой более частную задачу: попытаемся выяснить влияние малых параметров (членов дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами) на устойчивость состояний равновесия.
§ 2. Малые параметры и устойчивость состояний равновесия [127]
Поскольку мы ограничиваемся сейчас рассмотрением вопроса об устойчивости состояний равновесия, мы можем пользоваться линейным приближением. Пусть вблизи состояния равновесия поведение системы (при пренебрежении малыми, паразитными параметрами) может быть описано линеаризованным уравнением я-го порядка:
««•?• +е.-SS-+ = (10.4)
При подстановке частного решения X = Aext мы получим для X характеристическое уравнение п-й степени:
аа Xn-J-a, X"-1 -}-... -J-a„ = 0. (10.5)
Как известно, устойчивость состояния равновесия определяется знаками действительных частей корней этого уравнения; именно, состояние равновесия устойчиво, если все п корней отрицательны или имеют отрицательные действительные части.
Пусть введение в рассмотрение нового малого (например, паразитного) параметра приводит к повышению на единицу порядка дифференциального уравнения системы (другие случаи, когда порядок уравнения повышается сразу больше, чем на единицу, могут быть 734
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
рассмотрены аналогичным образом)'). Это повышение порядка в линеаризованном уравнении (10.4) может произойти двумя путями —
t
dnJrl X Г
прибавлением либо малого члена -jppr , либо малого члена \i\xdi,
о
где ;а — достаточно малый коэффициент. В первом случае характеристическое уравнение примет вид:
[хХ"+1 + а^Кп + ajX"-1 + ... + а'п = 0, (10.6)
а во втором
aoX"+1 + а\\п + ... + а'пк 4- їх = 0. (10.7)
В новых уравнениях вместо коэффициентов Oi появятся, вообще говоря, другие коэффициенты а\, так как учет малого параметра может привести не только к появлению новых членов, но и к небольшим изменениям старых, причем, очевидно, при [л —»- 0 а\ —»- av Оба эти уравнения имеют по п-\- 1 корней. Из них п корней X1, Xa,..., Xn в силу малости коэффициента р. близки по величине к п корням исходного характеристического уравнения и, в частности, имеют те же знаки действительных частей2). Следовательно, изменения, происшедшие с этими п корнями, не могут изменить устойчивости состояния равновесия. Это может сделать только новый корень Хл+1. Чтобы решить вопрос о влиянии этого корня, рассмотрим оба случая отдельно.
') Введение в рассмотрение малого параметра, не повышающего порядка уравнения системы, не представляет для нас какого-либо интереса (оно не может изменить устойчивость состояния равновесия), если исходная система (без учета этого малого параметра) была грубой.
Заметим, что понятие о «грубости» автономной системы, определяемой, например, двумя дифференциальными уравнениями 1-го порядка, может быть естественным образом обобщено на случай, когда малые добавочные члены содержат первые производные, т. е. когда «измененная» система имеет вид:
dx rw * , / dx dy
ЧГ = Р(Х,У) + РІ[Х,У)ЧГ,ЧГ
dy n, \ , / dx dy \
= [Х'У'ЧГ 'Ж
Если же малые добавочные члены содержат производные высших порядков, то вся данная постановка задачи о «грубости» системы нарушается, так как для измененной системы мы имеем фазовое пространство большого числа измерений. Как мы увидим дальше, в этом последнем случае мы не можем распорядиться (без особых специальных ограничений) малостью добавочных членов хотя бы в том отношении, чтобы они не влияли на устойчивость состояния равновесия.
