Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
»<(!)<>•
Следовательно, при 0 A2 A1 1 на фазовой плоскости имеется единственный предельный цикл и притом устойчивый. К этому предельному циклу асимптотически приближаются при t —<¦ -j- 00 все фазовые траектории (рис. 358). § 2] ламповый генератор
517
Тот же результат нетрудно получить и для случая 0<^А2<^1, 1 (Рис- 356): и в этом случае существует единственный
Рис. 358.
Рис. 359.
устойчивый предельный цикл, к которому асимптотически (при t—> —j— оо) приближаются все остальные траектории.
Если же 0 A1 A2 1, то кривые S = S(Sr) И S1 = S1(Sr) не пересекаются (рис. 357). В самом деле, если бы в этом случае существовали точки пересечения (их было бы четное число), то для первой из них (с наименьшим sr) необходимо должно быть
Обметь абсолютной неустойчивости
<dsi {ds/1
dsi ds' J\
ds ds'
<1.
Рис. 360.
что невозможно в силу (8.16), так как т2я ^x1 и при A2^A1 Итак, при 0 -C^A1 Aa 1 преобразование II полупрямой 5 самой в себя не имеет неподвижных точек, и следовательно, на
фазовой плоскости не существует никаких предельных циклов, причем, как нетрудно убедиться, все фазовые траектории уходят в бесконечно удаленные области фазовой плоскости (рис. 359).
Ламповый генератор при сделанных предположениях имеет два существенных параметра A1 и A2, и мы можем рассмотреть разбиение плоскости этих параметров на области различного качественного поведения рассматриваемой нами системы. На рис. 360 дано такое 518 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
разбиение первого квадранта плоскости параметров A1 и Aa на область существования предельного цикла (единственного и устойчивого) и на область «абсолютной неустойчивости». Точкам последней области соответствуют такие значения параметров, при которых все фазовые траектории уходят в бесконечность. Очевидно, в этом случае (при О A1 Aa 1 или при Аа]>1) развитая здесь теория не передает правильно свойств ламповых генераторов, ибо она была построена при пренебрежении сеточными токами и анодной реакцией, которые играют принципиальную роль при больших амплитудах колебаний. 4. Предельный цикл. Итак, при выполнении условий
0<Aa<At и Аа<1
на фазовой плоскости существует единственный предельный цикл, к которому при t —* оо асимптотически приближаются все остальные фазовые траектории, что соответствует установлению автоколебательного режима при произвольных начальных условиях'). При (X^AaCA1Cl неподвижная точка точечного преобразования *П и, следовательно, предельный цикл однозначно (единственным образом) определяется системой уравнений (8.15):
gT'T' — COS X1 —Yi sin X1 _ er*T* — cos X2 — fg sin Xii
KHrTf sin X1 _ Y'\ + -Jl sin X2
e— TItI - COS X1 -f ^1 sin T1 _ e~ Ts*2- COS X2 -)- Y2 sin X8
Yl+ Yf sin X1 _ yr+4f sin Xs ,
причем
Если эта система двух трансцендентных уравнений решена (а в этом и состоит основная вычислительная трудность рассматриваемой задачи), то не представит особого труда вычислить величины, характеризующие автоколебательный режим. Например, период автоколебаний будет равен
т = + (8.17)
OJ1 1 ц>2 * '
в единицах безразмерного времени и
^=/^(? + ?) (8.17а)
в обычных единицах.
Решение системы уравнений (8.15а) может быть проведено при помощи методов численного счета, изложение которых выходит за рамки настоящей книги. Поэтому мы ограничимся приближенным вычис-
(8.15а)
\) Следовательно, рассматриваемый генератор имеет при сделанных нами предположениях так называемый «мягкий режим самовозбуждения». § 2]
ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР
519
лением периода и амплитуды автоколебаний для наиболее интересного, с точки зрения практических приложений, случая достаточно малых значений параметров A1 и A2 (т. е. для случая генератора с колебательным контуром высокой добротности и слабой обратной связью).
Обозначим через а и Ь предельные значения величин -C1 и -C2 при A1, A2 — 0. Для вычисления этих предельных значений приведем уравнения (8.15а) к виду1):
ch Yi Яі — cos X1
ch 7,х2 — cos X2
)Л +7? sin X1 ShY1X1-^1 sin X1 j/T+^sinxi '
/l + Yf sin X2
Shf2X2 — Y2 Sint2
)/Т+1? sin х7 '
(8.156)
и подставим в них приближенные соотношения, справедливые для A1, A2 <1:
-J1 = A1, -J2 = A2,
Chi1T1 = I, Chf2T2 = I,
Sh^1T1 = A1O и Shf2T2 = A2^2).
Тогда уравнения (8.156) дают: 1 — cos а 1 — cos Ь
A1
sin а а — sin а
sin а
sin Ь '
Ь — sin Ь a sin Ь '
ti,*ti, (8.18) Рис. 361.
откуда получаем: tg у = — tg у, т. е. а
А.
а— sin а = 2іт
Лі + Л*'
2іс
b = 2іс, и
MS-RC MS
(8.18)
Как нетрудно убедиться, уравнение (8.18) имеет при A2^A1 (т. е.
ПРИ и <^4-) единственное решение 0<ґа<ґіс (графическое ре-"1 + "2 ^J
шение этого уравнения приведено на рис. 361). Так как при
х) Уравнения (8.156) получаются из уравнений (8.15а) путем их сложения и вычитания.
2) Как нетрудно проверить, = 1 + О (j?), ю2 = 1 + О (yl), A1 = yi + О (y!), As = y2 + О (yl), ch yixi = 1 + 0 (tf), ch y2x2 =1+0 (y1), sh yix1 = yifl + О (y?) и shy^2 = ta0+ О (yD- 520 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
