Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
s) Напомним, что основные понятия метода точечных преобразований (понятия функции последования, неподвижной точки точечного преобразования и ее устойчивости) были сформулированы в § 7 гл. V. Там же была дана и теорема Кенигса об устойчивости неподвижной точки.введение
505
получали (или могли получить) функцию последования, записанную в явном виде.
Однако в подавляющем большинстве задач трудно получить функцию последования, записанную в явном виде, но сравнительно легко можно получить ее в параметрической форме. Пусть, к примеру, фазовая плоскость х, у некоторой динамической системы разбивается прямыми X = X1 и лг = лга. на три области (Г), (II) и (III) (рис. 347), в каждой из которых уравнения движения рассматриваемой системы линейны. Обозначим через S, S1, Si и S3 полупрямые, через которые изображающая точка переходит соответственно из области (I) в область (II), из (II) — в (III), из (III) — в (II) и, наконец, из области (II) в область (Г), и через s, S1, sa и S3 — ординаты точек этих полупрямых. Фазовые траектории рассматриваемой динамической системы в «областях линейности» (/), (II) и (III) осуществляют точечные преобразования полупрямой 5 в S1, S1 в S2, Si в S3 и S3 в S, приводя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки этих полупрямых; обозначим эти точечные преобразования соответственно через H1, Па, П3 и II4. Интегрируя линейные дифференциальные уравнения движения системы в соответствующей области, мы сможем найти для каждого из этих точечных преобразований полупрямой в полупрямую функцию соответствия*) в параметрической форме:
для преобразования II1: S1 = (T1)1 s = (T1); "
для преобразования Па: $а = <ра(та), S1 = ^a(Ta);
для преобразования П3: 53 = <р3(т3), s2 = ^3 (т3); ^8"
для преобразования П4: s' = <р4(т4), S3 = ^i(T4), .
где T1, та, т3 и т4 — времена пробега изображающей точки через соответствующую область а).
') Функцию последования для точечного преобразования какой-либо линии в другую линию обычно называют функцией соответствия.
*) Так как в области (Я) дифференциальные уравнения движения системы линейны, то уравнения фазовой траектории, выходящей в эту область в точке полупрямой S с координатой s в момент t = 0, будут линейно зависеть от s:
х = Sfl (t) +/, (0, у = sft (t) +/< (Й-
Рис. 347.506 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Если фазовые траектории, выходящие из некоторого отрезка полупрямой 5, возвращаются на него, пройдя по всем трем областям (пройдя через области (/), (II), (III) и (//); см. рис. 347), то точечное преобразование II этого отрезка полупрямой 5 самого в себя (с функцией последования s'=f(s)) получается последовательным применением преобразований II1, П2, П3 и П4, т. е., как говорят, преобразование П является произведением преобразований II1, П2, П3 и П4:
П = П,.Па. IIg-IIi.
Очевидно, задача отыскания предельных циклов, проходящих по всем трем областям (т. е. через области (/), (II), (III) и (II)), сводится к нахождению неподвижных точек этого «полного» точечного преобразования П, т. е. к решению системы (обычно трансцендентных) уравнений:
<р2 (х2) = ^3 (х3), <р4 (х4) = ^1 (T1). J
Устойчивость неподвижной точки и соответствующего предельного цикла нетрудно определить, пользуясь теоремой Кенигса и заметив, что в неподвижной точке
^S' _ Ъ CsO Ъ Ъ (тз) ?4 (7^i)
ds ф; (x1) ' ^ (ха) • ф; (x3) • ф; (х4)
(через X1, т2, т3 и т4 обозначены значения T1, т2, т3 и т4 для неподвижной точки, т. е. решение системы уравнений (8.2))').
Принципиально таким путем можно получать точечные преобразования для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и проводить количественное исследование последних. Однако, конечно, практические трудности в исследовании и решении системы уравнений, определяющей неподвижные точки, в выяснении устойчи-
Пусть при t = x1 изображающая точка, двигаясь по этой траектории, придет на полупрямую S1 в точке с ординатой S1; тогда, очевидно,
= Sfl (t1)+ /j (x1), s1 = Sf г (x1) + /4 (x1)
(л:а — абсцисса точек полупрямой S1). Разрешая полученные соотношения относительно S и S1, мы и получим функцию соответствия для преобразования II1:
S = *'7?'г(Ті) = Фі (Xl), S1 = Фі (x1) • /, (x1) + /, (x1) = (x1).
Tl l.Tl,>
Точно таким же образом можно найти функции соответствия и для остальных точечных преобразований П2, II3 и П4.
') Вообще говоря, в рассматриваемой нами динамической системе возможны и предельные циклы, проходящие только через две области, например через области (!) и (II). Последние, очевидно, можно найти, построив точечное преобразование II1=II5II4, где II5 — преобразование полупрямой (s) в (ss), осуществляемое фазовыми траекториями, лежащими целиком в области (!Г).ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР
507
вости найденных неподвижных точек быстро возрастают с увеличением числа областей линейности уравнений движения (т. ei. числа точечных преобразований, произведением которых является «полное» точечное преобразование). Поэтому, чтобы не осложнять изложения, мы в настоящей главе ограничимся рассмотрением лишь сравнительно простых задач об автоколебательных системах, для которых «полное» точечное преобразование является произведением не более двух точечных преобразований прямой в прямую, выражаемых в параметрической форме. В этих задачах неподвижные точки, соответствующие предельным циклам, будут определяться системами двух трансцендентных уравнений; исследование последних удобно вести при помощи диаграмм Ламерея (см. гл. III).