Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 193

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 335 >> Следующая


s) Напомним, что основные понятия метода точечных преобразований (понятия функции последования, неподвижной точки точечного преобразования и ее устойчивости) были сформулированы в § 7 гл. V. Там же была дана и теорема Кенигса об устойчивости неподвижной точки. введение

505

получали (или могли получить) функцию последования, записанную в явном виде.

Однако в подавляющем большинстве задач трудно получить функцию последования, записанную в явном виде, но сравнительно легко можно получить ее в параметрической форме. Пусть, к примеру, фазовая плоскость х, у некоторой динамической системы разбивается прямыми X = X1 и лг = лга. на три области (Г), (II) и (III) (рис. 347), в каждой из которых уравнения движения рассматриваемой системы линейны. Обозначим через S, S1, Si и S3 полупрямые, через которые изображающая точка переходит соответственно из области (I) в область (II), из (II) — в (III), из (III) — в (II) и, наконец, из области (II) в область (Г), и через s, S1, sa и S3 — ординаты точек этих полупрямых. Фазовые траектории рассматриваемой динамической системы в «областях линейности» (/), (II) и (III) осуществляют точечные преобразования полупрямой 5 в S1, S1 в S2, Si в S3 и S3 в S, приводя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки этих полупрямых; обозначим эти точечные преобразования соответственно через H1, Па, П3 и II4. Интегрируя линейные дифференциальные уравнения движения системы в соответствующей области, мы сможем найти для каждого из этих точечных преобразований полупрямой в полупрямую функцию соответствия*) в параметрической форме:

для преобразования II1: S1 = (T1)1 s = (T1); "

для преобразования Па: $а = <ра(та), S1 = ^a(Ta);

для преобразования П3: 53 = <р3(т3), s2 = ^3 (т3); ^8"

для преобразования П4: s' = <р4(т4), S3 = ^i(T4), .

где T1, та, т3 и т4 — времена пробега изображающей точки через соответствующую область а).

') Функцию последования для точечного преобразования какой-либо линии в другую линию обычно называют функцией соответствия.

*) Так как в области (Я) дифференциальные уравнения движения системы линейны, то уравнения фазовой траектории, выходящей в эту область в точке полупрямой S с координатой s в момент t = 0, будут линейно зависеть от s:

х = Sfl (t) +/, (0, у = sft (t) +/< (Й-

Рис. 347. 506 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII

Если фазовые траектории, выходящие из некоторого отрезка полупрямой 5, возвращаются на него, пройдя по всем трем областям (пройдя через области (/), (II), (III) и (//); см. рис. 347), то точечное преобразование II этого отрезка полупрямой 5 самого в себя (с функцией последования s'=f(s)) получается последовательным применением преобразований II1, П2, П3 и П4, т. е., как говорят, преобразование П является произведением преобразований II1, П2, П3 и П4:

П = П,.Па. IIg-IIi.

Очевидно, задача отыскания предельных циклов, проходящих по всем трем областям (т. е. через области (/), (II), (III) и (II)), сводится к нахождению неподвижных точек этого «полного» точечного преобразования П, т. е. к решению системы (обычно трансцендентных) уравнений:

<р2 (х2) = ^3 (х3), <р4 (х4) = ^1 (T1). J

Устойчивость неподвижной точки и соответствующего предельного цикла нетрудно определить, пользуясь теоремой Кенигса и заметив, что в неподвижной точке

^S' _ Ъ CsO Ъ Ъ (тз) ?4 (7^i)

ds ф; (x1) ' ^ (ха) • ф; (x3) • ф; (х4)

(через X1, т2, т3 и т4 обозначены значения T1, т2, т3 и т4 для неподвижной точки, т. е. решение системы уравнений (8.2))').

Принципиально таким путем можно получать точечные преобразования для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и проводить количественное исследование последних. Однако, конечно, практические трудности в исследовании и решении системы уравнений, определяющей неподвижные точки, в выяснении устойчи-

Пусть при t = x1 изображающая точка, двигаясь по этой траектории, придет на полупрямую S1 в точке с ординатой S1; тогда, очевидно,

= Sfl (t1)+ /j (x1), s1 = Sf г (x1) + /4 (x1)

(л:а — абсцисса точек полупрямой S1). Разрешая полученные соотношения относительно S и S1, мы и получим функцию соответствия для преобразования II1:

S = *'7?'г(Ті) = Фі (Xl), S1 = Фі (x1) • /, (x1) + /, (x1) = (x1).

Tl l.Tl,>

Точно таким же образом можно найти функции соответствия и для остальных точечных преобразований П2, II3 и П4.

') Вообще говоря, в рассматриваемой нами динамической системе возможны и предельные циклы, проходящие только через две области, например через области (!) и (II). Последние, очевидно, можно найти, построив точечное преобразование II1=II5II4, где II5 — преобразование полупрямой (s) в (ss), осуществляемое фазовыми траекториями, лежащими целиком в области (!Г). ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР

507

вости найденных неподвижных точек быстро возрастают с увеличением числа областей линейности уравнений движения (т. ei. числа точечных преобразований, произведением которых является «полное» точечное преобразование). Поэтому, чтобы не осложнять изложения, мы в настоящей главе ограничимся рассмотрением лишь сравнительно простых задач об автоколебательных системах, для которых «полное» точечное преобразование является произведением не более двух точечных преобразований прямой в прямую, выражаемых в параметрической форме. В этих задачах неподвижные точки, соответствующие предельным циклам, будут определяться системами двух трансцендентных уравнений; исследование последних удобно вести при помощи диаграмм Ламерея (см. гл. III).
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed