Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
При a ^ 2-f кривая (8.27) заведомо не пересекается с кривой (8.28) >). Далее, кривая (8.28) U>UI от параметра а не зависит, в ^
то время как кривая (8.27) '
при увеличении а смещается вправо и притом сколь угодно далеко. Поэтому при возрастании параметра а будут последовательно осуществляться случаи (а), (б), (в), (г) и (o), изображенные на рис. 374.
Точки пересечения кривых (8.27) и (8.28) (обозначим их координаты через н, v и значения X1, X2 для них через X1, х2), очевидно, определяют неподвижные точки преобразования П и, тем самым, предельные циклы рассматриваемой нами динамической системы на ее фазовой плоскости3). Аналитически неподвижные точки определяются следующей системой уравнений:
Рис. 374.
Ttl _
cos X1
COS Xj
— й-It2
e~rZl — COS X1
Sin X1
- + а:
Sin Xj
cos X2 — є1*2
Sln Xs
(8.29)
(OCx11O, ТС<Ї2<Х§<2ІГ),
которая получается из параметрических выражений функций соответствия (8.27) и (8.28), если приравнять в них v (v = v) и положить H1 = и.
1) При a 2f кривая (8.27) расположена над биссектрисой u = V, в то время как кривая (8.28) всегда лежит ниже своей асимптоты H1 = TitHHl следовательно, под биссектрисой H1= V.
2) Нетрудно видеть, что кривые (8.27) и (8.28) не могут иметь более двух точек пересечения. В самом деле, если бы число точек пересечения этих кривых было более двух, то для второй и третьей точек пересечения (считая в направлении возрастания v) имели бы место неравенства:
что невозможно, поскольку при увеличении V -T^ убывает, а -j- возрастает. 536 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Если имеются две неподвижные точки (см. случай (в) на рис. 374), ТО ДЛЯ первой ИЗ НИХ (с меньшими U = Tl1-1', TI = Ii1, T1 и большим T2)
dui
du
/Лил ./-)
du Jv=V1 \dv Jv=V1' XdvJv = -V1^
и для второй (н=гг(2)^>гг(1), D = D2^Di)
(*ал .(du\
\dv Jv=v<. ' Xdv Jv=V2 ^ '
0<(Р) -
^Xdv v=i
т. е. первая из них является неустойчивой, а вторая — устойчивой. Если же имеется только одна неподвижная точка преобразования П (случай (o) на рис. 374), то она всегда устойчива, так как для нее выполнено условие устойчивости:
°<(ё)„--„<1-
Различные возможные типы разбиения на траектории фазовой плоскости лампового генератора со смещенной !-характеристикой, соответствующие случаям (а), (б), (в), (г) и (д) диаграммы Ламерея (рис. 374), изображены на рис. 375—379. На рис. 380 изображена
'Отрезок" ¦ : ..'..отталкивания;
Рис. 375,
Рис. 376.
плоскость параметров генератора f и а, разбитая на области существования указанных выше режимов генератора. Если в генераторе имеет место небольшая обратная связь — такая, что точка (f,a) лежит в неза-штрихованной области плоскости параметров (рис. 380), соответствующей случаю (а) диаграммы Ламерея, то фазовые траектории идут к устойчивому состоянию равновесия (0,0), которое, следовательно, § 4] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР СО СМЕЩЕННОЙ !-ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 537
устанавливается при любых начальных условиях (рис. 375). При некоторой критической связи (при а = а
кр ¦
/(f)) на фазовой плоскости У
уцотталкибония
Облает притяжения уст, фокуса
km. фокус
Область притяжения' уст. фокуса
Рис. 377.
Рис. 378.
появляется полуустойчивый предельный цикл (рис. 376), который соответствует точке касания кривых на диаграмме Ламерея в случае (б) рис. 374. Этот пре-
Этот
дельный цикл при сколь угодно малом увеличении обратной связи (при сколь угодно малом увеличении параметра а) распадается на два предельных цикла, один из которых устойчив, а другой неустойчив (рис. 377). При дальнейшем увеличении параметра а размеры неустойчивого предельного цикла уменьшаются, и при некотором втором бифуркационном значении этого параметра (а = а^ =Z1 (f)), соответствующем кривой (г) на рис. 380 и случаю (г) диаграммы Ламерея, неустойчивый предельный цикл попадает на отрезок отталкивания (рис. 378). Наконец, на рис. 379
і7
IMS
У--:'Отрезок '-;::? . ШталкиШя.:}:
О)
.¦а>а„
Уст. фокус
Облает Притяжения уст. фокуса
Рис. 379.
приведено разбиение фазовой пло-
скости на траектории для а ^>/1(7), когда точка (7,а) лежит 538 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
в области (д) рис. 380 и точечное преобразование имеет единственную неподвижную точку (случай (д) диаграммы Ламерея).
Таким образом, при a<^aK?=f(^) генератор не может совершать никаких автоколебаний, а при а акр =/(f), соответствующих
ЛІ
(а);-
заштрихованной области на рис. 380, в генераторе имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний: в генераторе устанавливается периодический (автоколебательный) режим только при тех начальных условиях, которые соответст-Рис. 380. вуют изображающим точкам
вне неустойчивого предельного цикла (рис. 377) или вне области, заштрихованной на рис. 379 1J.
Период устойчивых автоколебаний, очевидно, равен
^=4-(^+^).
где T1 и та определяются решением системы (8.29)2).
Пограничная кривая 0Kp=/(f) на плоскости параметров генератора, отделяющая область невозбуждаемого генератора.(область (а)) от области жесткого режима возбуждения (остальная часть первого квадранта), очевидно, определяется уравнениями (8.29) и условием, что при а = акр кривые (8.27) и (8.28) касаются друг друга, т. е.
