Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
I. Как и в предыдущей задаче, рассмотрение начнем с консервативного случая а = 0 (силы сопротивления отсутствуют), который был подробно рассмотрен Н. Е. Жуковским [64, 171]. Дифферен- § 4] задача жуковского о планирующем полете
499
циальное уравнение интегральных кривых (7.15) в этом случае имеет интеграл:
(7.16)
—у cos O = C (= const)
и три особые точки: 1) 0 = 0, у = -f-1; 2) 0 = -(--2, у=0 и
3) 0= — у, у = 0. Только первая из них является состоянием равновесия системы уравнений (7.14) при а = 0:
cos 8+ у
у — — sin 0, 0 =
(7.14а)
и соответствует режиму горизонтального полета планера с постоянной скоростью V = V0. Две другие особые точки лежат на особой интегральной кривойз/ = 0, соответствую- ц щей, как мы уже говорили, мгновенному опрокидыванию планера при v = 0, и не являются состояниями равновесия системы (7.14а), поскольку в этих точках у ф 0.
Для построения интегральных кривых можно воспользоваться тем обстоятельством, что их уравнение (уравнение (7.16)) разрешается относительно 0:
0:
;arccosT], (7.16а)
где
На рис. 341 изображено семейство вспомогательных кривых т) = TjCv, С) для у<0г), на рис. 342 и 343 —фазовые Рис.341,
траектории на развертке ци- 2
линдра и на самом фазовом цилиндре. Значению C = —g- соответствует особая точка 0 = 0,у = -)-1 типа центра — состояние равновесия
') Кривые 1) = -(] (у, С) — монотонные при С>0 и имеют минимумы, лежащие на параболе у2 = tj, при С < 0, ибо, как нетрудно видеть,
аЛ = 1 V+ ? = ± (V» -T1V dy 3 у ^ V-
2
при С < — -д- эти кривые лежат целиком над прямой »| = -(-1. 500
системы с цилиндрической фазовой поверхностью [гл. vii
системы уравнений (7.14а). Остальные фазовые траектории
кнутые: фазовые траектории, для которых 2
вают центр, но не охватывают цилиндра, охватывают фазовый цилиндр'). Первые из них соответствуют полету
зам-
3СС<^0, охваты-а траектории с С^> 0
Центр
Центр
Рис. 342.
Рис. 343.
планера по «волнообразным» линиям, вторые — полету, при котором планер совершает «мертвые петли». Траектории полета планера (траектории движения его центра тяжести в вертикальной плоскости X, z) изображены на рис. 3442).
') Эти два типа замкнутых фазовых траекторий разделяются интегральной кривой C=O, состоящей из окружности у = 0 и сепаратрис седел (уравнение
последних имеет вид: Я = ±: arccos^-1).
^ /
s) Уравнение этих траекторий симметричного полета планера в плоскости х, z (в предположении отсутствия сопротивления воздуха), которые были рассмотрены в работе Н. Е. Жуковского и в дальнейшем были названы фугоидами, может быть получено следующим образом. Прежде всего, заметив, что dz
vsinv = -^, мы получим из уравнений (7.13) для случая Cv = O:
1 1 2 Sz
-^d(Vss) = -gdz, -Fj- о2 = — gz или у = —
^ ^ Vfl
(мы полагаем постоянную интегрирования равной нулю, т. е. отсчитываем высоту г от того уровня, которому при данных начальных условиях соответствует скорость г» = 0). Далее, очевидно,
dz_ dx
= tg 8 или dx ¦
dz
dz
tgo R(Z1C)'
(?) § 4] задача жуковского о планирующем полете
501
11. Перейдем теперь к качественному рассмотрению полета планера при учете сопротивления воздуха (Cx или соответственно а^>0) [166]. По-прежнему имеется единственное состояние равновесия системы уравнений (7.14); его координатами, очевидно, будут:
»о = -
arctg а
JV
fH-«2
-?<А<о), (0О»<1)-
(7.17)
Это состояние равновесия системы (7.14) соответствует полету планера по нисходящей прямой с постоянной скоростью VЛинеаризуя уравнения (7.14) в окрестности состояния равновесия (&0, _у0), нетрудно убедиться, что последнее всегда устойчиво и при .достаточно малых а (при a<^j/8) является фокусом.
Для доказательства отсутствия замкнутых интегральных кривых (кроме окружности
у = 0) воспользуемся критерием Дюлака. Взяв_у в качестве множителя В (&, у), мы получим для уравнений (7.14):
kC-2Ii Г\ А
Рис. 344.
- \УП + щЬ>Ф] =-Зау*-
ду
0,
(7.18)
причем равенство нулю имеет место только на окружности _у = 0. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае не существует замкнутых интегральных кривых (или замкнутых контуров, состоящих из интегральных кривых), не охватывающих фазовый цилиндр, и имеется не более одной замкнутой интегральной кривой, охватывающей цилиндр. Поскольку такой замкнутой интегральной кривой, охватывающей фазовый цилиндр, является окружность _у = 0 (она, как и в консервативном случае, соответствует мгновенному опрокидыванию планера при г> = 0), можно утверждать, что система уравнений (7.14) при а^>0 не имеет на верхней половине фазового цилиндра (в области _у>0) замкнутых фазовых траекторий, как охватывающих цилиндр, так и не охватывающих его. Иначе говоря, рассматриваемая система не имеет (при наличии сил сопротивления воздуха) никаких периодических колебательных движений.
где R (г, С) — функция г, которая получается, если выразить tg 8 через г при помощи соотношений (7.16а) и (а). Интегрируя уравнение (?) каким-либо приближенным методом (интеграл от правой части в элементарных функциях не выражается), мы получим зависимость х от г, графики которой изображены на рис. 344. 502
