Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 350. 510 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
точек полупрямой s', уже не могут приходить на полупрямую S, а будут уходить в бесконечность. Ясно, что в этом случае на фазовой плоскости jc, у не существует никаких предельных циклов и все фазовые траектории уходят
(О
в бесконечность, т. е. за пределы той области, в которой принятая математическая модель лампового генератора отображает свойства реального генератора.
2. Точечное преобразование. Итак, рассмотрим случай 0<^/г2<^1. Точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя (будем обозначать его через П), очевидно, может быть представлено в виде произведения двух преобразований: преобразования II1 точек S полупрямой 5 в точки s' полупрямой S', осуществляемое траекториями в области (/), и преобразования II2 точек s' в точки S1 полупрямой 5 (последнее осуществляется траекториями в области (Il)). Найдем аналитические выражения для этих преобразований.
В области (I) (jc^—1) фазовые траектории определяются первым из дифференциальных уравнений (8.5). Его решение (для траектории, проходящей при / = 0 через точку Jc = JC0, у=уц), как известно '), записывается в виде:
Рис. 351.
jc = е~ w { jc0 cos CO1/ -f + hlXn sin cV}, j у = x = e-h^ i _v0 cos w1/ •
AT0 +
sin W1/ I,
(8,6)
где
CO1
= + і/т=щ.
Следовательно, уравнением траектории, выходящей при / = O из точки S полупрямой 5 (jc0 = —1, у§ = — s, где s^>0), будет:
JC = — Є~ h^ Ц COS W1/ -j- Sin CO1/j,
У = JC = e-Al'^-S COS u)j/
+ /iis . л
-1-— Sin Cl)./ .
w1 1 j
(8.7)
') См., например, гл. I, § 4, § 2]
ламповый генератор
511
Изображающая точка, двигаясь по траектории (8.7), в некоторый момент времени = придет на полупрямую Sf в точке s'(jc = — 1, _y = s'> 0) (рис. 350). Тогда
hit і r-
_ A1Tj .
Sr = Є
ш1 cos t1
s cos t1
s+ A1
Sin T
1 +Sh1
sin t1
Разрешив эти уравнения относительно s и s', мы получим функцию соответствия для преобразования H1, записанную в параметрической форме:
„uti.
cos T1 — Y1 sin T1
У\ + т; . sin T1 е~1lTl — cos T1 + Y1 sin T1
где
Ti =
У\ +її- sin T1 A1 A1
(8.8)
°i /I-Af
(при изменении Zj1 от 0 до -f-1 ^1 монотонно увеличивается от 0 до -f- оо). Заметим, что выражение для Sr получается из выражения для s заменой iJf1 на —^1. Дифференцируя (8.8), получим:
ds_1 — e7ltl (cos T1—Y1SinT1) ds'
1 — е 7lT' (cos T1 ^1 sin T1)
dx і
У 1 + Yf • sin® T1
^T1
V^ + її • S'n8 tI
Введем вспомогательную функцию
<р (т, 7) = 1 — (cos т — 7 sin т),
(8.9)
график которой (для фиксированного Tf ^>0) качественно изображен на рис. 352. Из свойств этой функции отметим следующие три:
1) <р(-ду
¦ 7) — ? (т> т);
2) = O+TV7t Sinr,
3) при <р(т, 7) обращается в нуль при некотором т = т°(^) (причем іг<[т0<[2т:) и больше нуля при т<[т°.
Тогда
g7ltl у (T1, — Yi) ds __ у (ti, Yi)
^i Y \ + Yf sin8 T1 '
ds' _ 9 (T1, — Yi)
Vl + Tf • sin T1 е- у (T1, y,) /!+YfsinT1 '
dt і у \ +Yf sin» т,
(8.8а) 512 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Из выражений (8.8а) и свойств функции f (т, у) следует, что для получения всей совокупности значений S в интервале 0<^s<^-|-co параметр преобразования T1 нужно изменять в интервале OCt1Ctt, причем при изменении T1 от 0 до it, S и Sr монотонно возрастают от 0 до + оо (при T1-J--I-O s, Sr —*¦ 0; при T1 -»- it — О s, s' -j- сю;
при OCxI^1t s> s'> и положительны и непрерывны)1).
Для построения графика функции соответствия для преобразования II1-—функции, связывающей значения s и s', достаточно заметить следующее:
1) при OCx
_ ? Ы, 71) ^ П
as' 'f ('і, — Ti) ^
и монотонно возрастает ог 1 при T1-^-J-O до етт- при T1-»-я—О, так как
_ д j у (T1, Tl) ) 1
ds" 0тД ?(т„ — 7l) Jds^-
^T1 3
=2^li-S'"[sh TiTi ~sin ті] >0 (8Л0)
при О С т <С
') Параметр преобразования T1 имеет смысл приведенного времени пробега изображающей точки в области (/). Поэтому из всевозможных значений T1, соответствующих заданному значению s (согласно первому соотношению (8.8)), мы должны брать наименьшее положительное. Таким образом, интервал изменения T1 должен быть интервалом наименьших положительных значений, которым соответствуют согласно (8.S) 0 < S < + оо. Таким интервалом и является интервал 0 < T1 < я.
Предельные значения s и s' при T1 О находятся из (8.8), например, при помощи правила Лопиталя. §
Ламповый генератор
513
2) при т —>¦ те — 0 график функции соответствия (8.8) имеет прямолинейную асимптоту
s = <?nV-f-a, (8.11)
где
2ті(1+вТ1*)
a= Iim [s— е sr] :
D-O
V^TT2
<0;
d2s
3) в силу и а<(0 кривая (8.8) расположена над асимп-
тотой (8.11). График функции соответствия (8.8) изображен на рис. 353 (сплошной линией для рассмотренного случая СХ^Лі^І)-
В случае A1 1 решение уравнения (8.5) в области (Г) получается из (8.7) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические и (O1 на S1 = = Ук\—1; нетрудно видеть, что и функция соответствия для преобразования II1 в этом случае может быть получена из (8.8) тем же путем. Таким образом, в случае A1 > 1
