Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
е"1' — ch I1 — Y1 sh I1
VWirI Sh X1 '
е~^ltl — ch T1 + Yi • sh X1
у" Yf — 1 sh X1
Ai
(8.12)
Ti =
VrAJ-I
Рис. 353.
(при изменении A1 от 1 до -f- оо монотонно уменьшается от -{- оо до 1). Нетрудно также убедиться, что при изменении T1 ОТ О до-]-CO S монотонно растет от О до -f- со, а Sr —от О до
a= lim s'= Л/ ¦
T1-.+ OO У
Ti-I
Yi +1
и что график функции соответствия (8.11) имеет вид кривой, изображенной на рис. 353 пунктирной линией.
Перейдем теперь к точечному преобразованию Па — преобразованию точек полупрямой S' в точки S1 полупрямой S, осуществляемому траекториями в области (II), ограничиваясь случаем О A3^l1).
Выше было показано, что при A2 > 1 преобразование Us не существует и все фазовые траектории уходят в бесконечность.
17 Теория колебаний 514 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Пусть при t = 0 изображающая точка, двигаясь по соответствующей траектории в области (II), пришла в точку S1 полупрямой S, выйдя
ранее в некоторый момент времени t =— ^1CO из точки s' полупрямой S' (рис. 350). Поскольку решение уравнения (8.5) в области (II), очевидно, получается из решения в области (I) заменой Zz1 на —A2 и (O1 на (оа == —YI—/г2, уравнение интересующей нас траектории (с X = — 1 ,у = — S1С О ПРИ t — О и Для — 77 =? ^ =? 0) получится из (8.7), если заменить там Zz1 на
/г2, (O1 на (о2, S на S1 и T1 на —т2. Той же заменой мы получим из (8.8) функцию соответствия для преобразования П2—функцию, связывающую между собой значения s' и S1 через параметр т2 (приведенное время пробега изображающей точки в области (11) т2, конечно, больше нуля). Таким образом, функция соответствия для преобразования П2 имеет следующий вид:
ЙТ2Т2 — COS T3 — I2 sin Ta
Y1 + її Sin T3 e— 7 2T2 — COS Ta -)- f8 sin T8
1/Т+7Їsin Tg
(8.13)
где
Очевидно,
A2
¦ 72*2 ,
T2 =
(т2, —ъ)
Y1 + її Sin T2
Vl-AJ
Sr = -
Y1 + її sin T2
dsi ds'
- Т(т-°> Ъ) ' <р Ы, — ь)'
(8.13а)
Параметр преобразования т2 нужно изменять в таком интервале наименьших положительных величин, чтобы получить всю совокупность значений 0 Cs'^-Hco- Из свойств функции <р(т, у) (рис. 352) и выражений (8.13а) следует, что таким интервалом будет ItCT2CTa, где т2 — наименьший положительный корень уравнения J = O или
<Р (*s.Ta) = О
(очевидно, Tt С т2 C^1O- Нетрудно убедиться в следующих свойствах функции соответствия (8.13): 1) при уменьшении т2 от та до it s' монотонно возрастает от 0 до -)- со, a S1 — от некоторого значения S1
также до -[- оо; 2) 0 (для доказательства достаточно заме-
нить в (8.10) S на S1, ^1 на —T2 и T1 на — т„ и учесть, что ламповый генератор
515
и Xs Xj 2ir); следовательно, при возрастании Y монотонно
растет от 0 при Sr = О (при х9 = xjj) до ет«® при Sr -f-00 (при Xsи-j-0); 3) при X2 -> и -f- О кривая (8.15) имеет прямолинейную асимптоту
У1 + ті
График функции последования (8.13) для точечного преобразо- s,° вания IIs изображен на рис. 354.
3. Неподвижная точка и ее устойчивость. Для определения неподвижных точек преобразования П полупрямой 5 самой в себя нанесем на одной диаграмме (на диаграмме Ламе-рея) графики функции соответствия для преобразований II1 и IIs— кривые (8.8) и (8.13) (рис. 355, 356 и 357). При 0<ft2<ft1<l (рис. 355) кривые S = S(Sf)H S1=S1(Sr) имеют нечетное число точек пересечения, так как эти кривые непрерывны и S1 ^>s при Sr = O,
но s,<s при Sf-^-I-OO (поскольку 72<СЛі> асимптота (8.14) идет более полого, чем асимптота (8.11)). Нетрудно показать, что в-рассматриваемом случае существует только одна точка пересечения кривых S=S(Sr)HS1=S1 (s') и, следовательно, только одна неподвижная точка преобразования П и только один предельный цикл на фазовой плоскости,
17* 516 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
В самом деле, для неподвижной точки преобразования II (величины, относящиеся к ней, мы будем отмечать чертой сверху) согласно (8.8а) и (8.13а) имеем:
„11^1 g— 12^2
— —Tl) =--Т7т=г=ГТГГ ? (т*> —ь).
Vi + її sin t1
О— Tl^l
V^ + Y^ sin T1
?Сч> Ti)=-
/1 + Yl sin T еЇ2_Т2
7-7-9(? Ta)
dsl ~ds
или согласно (8.15)
^s1 Та
Vl +Yl sin t8
_ <Р (?, Ts) <Р CeI.
(8.15)
¦її)
<Р (? — Ts) <f CtI, Tl)
^s1
~ds
= Є2 (Тї*3 - Тіїї) 0.
(8.16)
Допустим, ЧТО кривые S = S (s') И S1=S1(Sr) имеют несколько точек пересечения. Тогда для первой из них (с наименьшим s'), поскольку
S1 S при малых s', обязательно будет иметь место неравенство
'W1] ^fdI] „„„ (dT^
ds' Ji ^XdsrJ1 """ \ ds J1
или
а для второй, следующей —
—) > ds' і- ^
ds
ds'Ji
dsЛ ds
>1
Рис. 357.
Последнее невозможно, так как большему S' соответствует большее T1 и меньшее т2, и следовательно, если бы вторая точка пересечения существовала, для нее согласно (8.16) выполнялось бы
неравенство < 1.
Таким образом, существует только одна точка пересечения кривых s = s (s') и S1=S1(Sr) — одна неподвижная точка точечного преобразования П, причем для этой точки
