Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Ламповый генератор со смещенной !-характеристикой
В предыдущих двух параграфах мы рассмотрели примеры ламповых генераторов с мягким режимом возбуждения. Рассмотрим теперь жесткий режим возбуждения автоколебаний на примере лампового генератора с колебательным контуром в цепи анода и с так называемой смещенной !-характеристикой лампы. Именно, мы будем аппроксимировать характеристику лампы (так же как и в § 4 гл. Ill) !-характеристикой:
Іа =
при при
Hg > О, Itg < о,
но будем считать, что .в состоянии равновесия схемы лампа заперта некоторым отрицательным смещением —г Eg (рис. 369).
1. Уравнение колебаний. Фазовая плоскость. Уравнение колебаний рассматриваемой схемы лампового генератора (при обычных упрощающих предположениях; см., например, § 4 гл. 111), как известно (см. (3.15)), записывается в виде:
dt*
где
при при
Ug = -Eg-M^.
Ug > О, Ug < О,
Ниже мы будем полагать, что М<^ 0, ибо, как можно показать, только в этом случае генератор может совершать автоколебания. Заменой переменных
і
X
= J- > 'нов = О>0^).
1
¦, мы приведем уравнение колебаний генератора к виду
ГДЄ ^ VLC
при х^>Ь, при х<^Ь,
где Ih = W0RC — затухание колебательного контура и
х + 2 hx +
н:
v\M\It
(8.26)
(8.26а)
') Ниже дифференцирование по новому, безразмерному времени будет обозначаться точкой сверху, а само безразмерное время — просто через t. 530 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Фазовая плоскость л;, у (у = х) разбивается горизонтальной прямой у = Ь на две области линейности: (/), где у^>Ь, и (II), где У<С b (рис. 370). В каждой из этих областей имеет место свое линейное уравнение. Вдоль прямой у = b происходит соединение фазовых траекторий в областях (I) и (II) (по закону непрерывности)1). Выделим на этой прямой полупрямые S: y = b, х = — s, где s^>2hb—1,
и S': у = Ь, x = s'> — 2hb. От первой из них (при у = = b-f-0) фазовые траектории отходят (при возрастающем t) в область (I.), от второй (при у = Ь — 0) — в область (II). От отрезка (y = b, — Ihb <С <С 1 — Ihb), принадлежащего обеим полупрямым, траектории отходят как в область (I) (при y = b-f-0), так и в область (II) (при у = b — 0). Этот отрезок мы будем называть ниже «отрезком отталкивания» 2).
Рассматриваемая динамическая система (8.26) имеет единственное (и притом устойчивое) состояние равновесия — начало координат (0, 0), которое является фокусом при h 1 и узлом при 1. Нетрудно
видеть, что в последнем случае система не может иметь предельных циклов3), и следовательно, все траектории будут стремиться (при t-*--\- со) к устойчивому узлу, т. е. генератор не будет совершать никаких автоколебаний. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь случая
') Фазовые траектории должны быть непрерывны всюду и, в частности, на прямой у = Ь. Обоснование этого было изложено в § 4 гл. III.
2) Для пояснения укажем, что изоклиной горизонтальных касательных
i^-= Q^j является прямая у =— 2hx в области (II) и прямая у = I—Ihx
в области (/). Слева от изоклины у > 0, справа у<0.
Заметим также, что в точках «отрезка отталкивания», равно как и на
всей прямой у = Ь, движение изображающей точки не определяется уравнением (8.26) и должно быть соответствующим образом доопределено. В точках прямой у = Ь вне этого отрезка доопределение тривиально: изображающая точка покидает прямую у = b по траектории, уходящей в область (/) при х < — 2hb
или в область (//) при х> 1 —2hb. Доопределение движения изображающей точки в точках «отрезка отталкивания» менее очевидно и будет сделано позже.
8) При h > 1 в области (II) имеются две интегральные прямые, идущие из бесконечности и проходящие через узел. Предельный цикл, если бы он существовал, должен пересекаться с этими прямыми, что невозможно.
У'Х _
¦'¦:}•: '• ¦' '„Отрезок '¦'¦'¦"¦¦.: ;/ отталкивания"
''Ayihb, ij ¦•.'¦;:'
Устойчивый фокус
,,л \ Изоклина Ш) Горизонтальных. \ касательных
Рис. 370. § 4] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР СО СМЕЩЕННОЙ !-ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 531
2. Точечное преобразование. Предельные циклы, если они существуют, должны охватывать начало координат (единственное состояние равновесия) и, с другой стороны, не могут лежать целиком в области (Г) (или в области (//)). Следовательно, они обязательно будут пересекать прямую у = Ь и, в частности, выделенную нами полупрямую S. Поэтому для отыскания предельных циклов уравнения (8.26) нам достаточно рассмотреть точечное преобразование полупрямой S самой в себя, осуществляемое траекториями этого уравнения (с функцией последования st=f(s) (см. рис. 370). Обозначим это преобразование через П. Назовем также преобразованием П( переход изображающей точки из точки (—S, Ь) полупрямой S по соответствующей траектории в области (/) в точку (tf, Ь) полупрямой S и преобразованием П3 — переход из точки (s', Ь) по траектории в области (II) обратно на полупрямую S (в точку (—S1, А); рис. 370). Тогда, очевидно, «полное» преобразование
П = П,.П,.
Нетрудно получить параметрические выражения для функций соответствия преобразований II1 и П9. Рассмотрим с этой целью траекторию, выходящую при / = 0 в область (I) из некоторой точки (—s, Ь) полупрямой S. Ее уравнением согласно (8.26) будет
