Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ds '
а 0, т. е. при изменении т9 от 0 до т9 s' монотонно убы-
вает от оо до 0, a S1 — от -f- оо до S1 (т9) 0. Следовательно, интервалом наименьших положительных значений т9, при прохождении которого мы переберем все точки полупрямой S', будет
OOi-Oi-
4) Так как
g|gt _ 2 (1 + 7І)3/г Sin3 T2 (sh Y8T3 — Ya sin т2) ^ Q ds'* [1 +е-72T2 (cos та +Ys SinT2)]'
при любых 0<^Т2<^Т9, то при увеличении У от О до -f- OO (при
') Если Л2 > 1, то функция соответствия для преобразования II2 получается из (8.24) заменой тригонометрических функций на соответствующие
гиперболические и Ya на Ya .= ^2 ^ , a |/"l +y| — на |/"y1 — I-526 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
ds
уменьшении Ta от T3 до 0) монотонно возрастает от 0 (при s' = 0)
до 4-1 (при Sr —"-J- оо). Кривая (8.24) имеет асимптоту S1 = Sr-J-
4ч d"Si
-J-у===, причем в силу ^jfj-0 эта кривая расположена над
Рис. 366.
асимптотой. Указанных свойств достаточно для построения графика функции соответствия (8.24); он приведен на рис. 366 ').
3. Неподвижная точка и предельный цикл. Построим кривые (8.22) и (8.24) на одной плоскости — на диаграмме Ламерея (рис. 367). Их точки пересечения, очевидно, и являются неподвижными точками преобразования П' = П, • П2 преобразования полупрямой S в полупрямую S1 при OCA1Cl и OC^aC1- Аналитически неподвижные точки определяются следующей системой уравнений:
еич _
COS T1 — Tf1 sin T1
gTs 3 + COS T8 + Y8 sin T2
У~\ +Yisin T1
е~ їіТі — cos T1 + Y1 sin T1 V 1 + Yi Sin T1
у I + ті sin T2
g— 72*2 cos — Ya sin T8 У~1+1І sin T2
(8.25)
которая получается из выражений (8.22) и (8.24), если приравнять
B НИХ Sr И ПОЛОЖИТЬ S1 = S.
') При /г8 > 1 график функции соответствия преобразования II8 имеет
качественно тот же вид: при изменении s' от 0 до + со S1 монотонно возра-
, dsi
стает от некоторого положительного значения до +со, а производная -г-, —
от 0 до + 1. ds§ 3] ламповый генератор (симметричный случай) 527
Покажем, что существует единственная точка пересечения кривых (8.22) и (8.24). В самом деле, существование хотя бы одной точки пересечения s,s, следует из непрерывности этих кривых и из неравенств
S1 — s>0 при s' = О,
S1 — s<0 при достаточно больших s'').
Далее, если бы существо-вало несколько точек пересечения, то для первой из них (с наименьшим Sr) было
d Si ___ds
бы 3 ДЛЯ СЛЄ"
дующей Послед-
нее невозможно,
так как
Рис. 367.
>Й>1 любых s'). Таким образом, существует единственная точка пересечения кривых (8.22) и (8.24) — единственная неподвижная точка преобразования П при
О A1^l и 0<\Аа<М и притом устойчивая, поскольку в ней
То же самое имеет место и при 0 A1 1, но Aa 1, так как график функции S1 = S1 (s') при Aa 1 имеет тот же вид, что и при О < A9 < 1.
Диаграмма Ламерея для случая A1 1 и любых Aa 0 изображена на рис. 368, т. е. и при этих значениях параметров A1, Aa имеется единственная и устойчивая неподвижная точка точечного преобразования П'.
Следовательно, при любых значениях параметров системы A1 О, Аа^>0 на. фазовой плоскости существует единственный устойчивый предельный цикл, к которому стремятся (при t—> -j-co) все фазовые траектории. Иначе говоря, генератор при сделанных нами в этом
Последнее неравенство вытекает из того обстоятельства, что угловые коэффициенты асимптот кривых (8.22) и (8.24) равны соответственно и 1, т. е. асимптота кривой (8.22) идет круче асимптоты кривой (8.24) (относительно свойств функции соответствия преобразования Пі см. предыдущий параграф).528 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
параграфе предположениях относительно характеристики и выбора рабочей точки лампы имеет мягкий режим возбуждения: единственный автоколебательный режим устанавливается при любых начальных условиях.
Период автоколебаний, очевидно, равен
S=S1
¦ = 2 Г— -j- —1
(в единицах безразмерного времени), где T1 и T2 — значения параметров преобразований nt и II2, соответствующие неподвижной точке J).
Не проводя численного решения системы трансцендентных уравнений, определяющих неподвижную точку (системы уравнений (8.25) для OCA1Cl, 0CA2<1). что выходит за рамки книги, мы рассмотрим три предельных случая:
1) A1- 0, тогда T1-U, т2—0 (при этом неподвижная точка, а вместе с ней и предельный цикл уходят в бесконечность).
2) A2 — 0, тогда t1 — 0, т2 — и; координата неподвижной точки 3—0, предельный цикл вырождается в окружность л;2-J-Ja=I.
3) A1, A2 ^ 1 (A1, A2 — 0). В этом случае (вычисления мы опускаем, поскольку они полностью аналогичны проведенным в предыдущем параграфе) t1 определяется уравнением
Рис. 368.
sin т,
Ai+ A2
MS —AQ MS
t2 = U — t1, предельный цикл близок к окружности радиуса
1
A = -
cos
tl
а автоколебания близки к синусоидальным с периодом 2тс (в единицах безразмерного времени).
При Och1Cl, 0<ft2<l T1 и т3 определяются единственным образом системой уравнений (8.25), в остальных случаях — системой, получаемой из (8.25) соответствующей заменой тригонометрических функций на гиперболические.§ 4] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР СО СМЕЩЕННОЙ !-ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 529