Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ац A3 1 (J)1=I, W3=I, период автоколебаний, очевидно, равен т = a -j- b = 2it, т. е. совпадает с периодом собственных колебаний
малых A1 и A3 предельный цикл близок к окружности, имеем (рис. 362):
A = -L.. (8.19)
eosT
Зависимость амплитуды автоколебаний А от параметров генератора, очевидно, выражается в параметрической форме соотношениями (8.18) и (8.19). На рис. 363 приведен график зависимости амплитуды А от
отношения ~ . При ^ — 1 а — и и, следовательно, А —> сю. "і "і
1J Положив 7а = ?7i, где ? = — < I, можно искать решение системы (8.156)
її
в виде разложений в ряды по степеням Tf1:
X1 = а + A1Tf1 -+ а21 \ + ..., Ts = Ь + brf! + bfil -+ ...
Подставив в уравнения (8.156) разложения в степенные ряды всех величин, зависящих от ^1, мы получим последовательность уравнений, определяющих коэффициенты а, Ь, аи Ьи аг, be, ... Как нетрудно видеть, коэффициенты а и b определяются уравнениями, приведенными выше, и O1=O, b\ = 0. Таким образом, период автоколебаний
х = 2 «+О (у?),
т. е. отличается от 2л (от периода собственных колебаний колебательного контура генератора) на величину порядка 7? (или hf). § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР (СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ)
521
§ 3. Ламповый генератор (симметричный случай)
1. Уравнения колебаний и фазовая плоскость. Рассмотрим теперь ламповый генератор (рис. 348), предполагая, что характеристика лампы имеет насыщение и симметрична (рабочая точка лампы, соответствующая состоянию равновесия, лежит посередине восходящего участка характеристики). Именно, мы будем аппроксимировать характеристику лампы симметричной кусочно-линейной функцией:
(О при н<^ — н0, S(H-J-H0) при |н|<н0, (8.20)
25н0 при н^>н0,
график которой изображен на рис. 364.
Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать анодной реакцией лампы, се+очными токами и паразитными (в том числе и внутрилампо-выми) емкостями. Заменой переменных
и
Jf =
U0
И t = U)/ ( W0 =
1
'Vlc
учитывая, что теперь
5 при I лг К 1, 0 при |jf|^>l,
5(н)
-{
Рис. 364.
М>1> \ И<ь J
(8.21)
мы приведем уравнение
лампового генератора (уравнение (8.3)) к следующему виду: if -f- 2htxX = 0 при Jc — 2Ajjf -)- jf = 0 при где, как и раньше,
H1 = ^RC и A4 = ^lMS-ЯС].
Таким образом, при кусочно-линейной характеристике лампы (8.20) фазовая плоскость лампового генератора Jf, у, где у = х, разбивается прямыми jf = —1 и jf = -)-l на три «области линейности»: (/) Jf<—1, (//) |лг|<1 и (III) лг>+1, в каждой из которых справедливо свое линейное уравнение (8.21) (рис. 365). При этом, исходя из ясных физических предпосылок (они ранее неоднократно приводились), мы будем требовать непрерывности фазовых траекторий всюду на фазовой плоскости и, в частности, на границах 522 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
«областей линейности» (на прямых j; = —1 и х = -}- 1)*). Заметим также, что уравнение (8.21) инвариантно относительно замены переменных X, у на — X, —у, фазовые траектории в областях (I) и (III) симметричны друг другу относительно начала координат. Такая же симметрия имеет место и для траекторий в верхней и нижней половинах полосы (II).
Динамическая система (8.21) имеет единственное состояние равновесия — начало координат (0, 0), которое является узлом или фокусом, устойчивым при A2 <0 (т. е. при MS<^RC) и неустойчивым
при A2 > 0 (при MS RC). Ниже мы будем рассматривать главным образом последний случай—случай самовозбуждающегося генератора, т. е. будем считать, что A1 0 и A2 03).
2. Точечное преобразование. Фазовая плоскость х, у рассматриваемой системы заполнена кусками траекторий соответствующих линейных уравнений (8.21); эти куски траекторий «склеиваются» своими концами на прямых х = — 1 и X = -{-1,' образуя целые фазовые траектории. Изучение структуры разбиения на траектории такой «склеенной» фазовой плоскости может быть проведено путем рассмотрения точечного преобразования полупрямой х = — 1, у<^0 (полупрямой S) самой в себя, осуществляемого при движении изображающей точки по соответствующим кускам траекторий.
В самом деле, в рассматриваемом нами случае A1^O, A2 ^>0 бесконечность, как нетрудно видеть, неустойчива. Также неустойчивым является и единственное состояние равновесия (0, 0) (оно является неустойчивым фокусом при 0<А2<1 и неустойчивым узлом при A2 ^>1). Поэтому на фазовой плоскости имеется по крайней мере один устойчивый предельный цикл (см. теорему V на стр. 409 и сноску на этой странице). Ясно, что предельные циклы должны охватывать начало координат — единственное состояние равновесия
На рис. 365 фазовые траектории изображены составленными из спиралей. Это, очевидно, имеет место только при I A11 < 1, I A21 < 1.
2) Если A1 > 0, a A2 < 0, т. е. AlS < RC > 0, то, как можно показать, все фазовые траектории будут асимптотически (при t—>-f оо) приближаться к устойчивому состоянию равновесия (0, 0); следовательно, ламповый генератор не будет совершать автоколебаний (ни при каких начальных условиях). § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР (СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ) 523
